//6 – 2 – 1 while
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main() {
/*int count = 0;
while (count < 1000) {
cout << “I love you!” << endl;
count += 1;
}*/
/*while (1) {
cout << “I love you!” << endl;
count += 1;
//dead repeat
}*/
//string a;
//while (cin >> a) {
// cout << a+ ” I love you!” << endl;
//}
int a,b;
while (cin >> a >> b) {
cout << a+ b << endl;
}
return 0;
}
//6 – 2 – 2 do-while
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
/*
do {
} while (condition);
*/
//if the condition is true, keep on execution
/*int a = 0;
do {
cout << a << endl;
a += 1;
} while (a < 3);
a = 0;
while (a < 3) {
cout << a << endl;
a += 1;
}*/
int a = 3;
do {
cout << a << ” haha” << endl;
a += 1;
} while (a < 3);
//do-while will first execute the do case at least once,then continue to judge the while’s conditon
cout << “—–” << endl;
a = 3;
//The while will judge the condition at first, if the condition is false, the sentence won’t be executed
while (a < 3) {
cout << a << ” gg” << endl;
a += 1;
}
return 0;
}
AI：
等差数列求和公式详解
要理解等差数列的求和公式，首先需要明确等差数列的基本定义，再通过推导过程掌握公式的本质，最终学会根据已知条件选择合适的公式计算。
一、等差数列的基本概念
在等差数列中，有几个核心量需要先明确，后续公式均围绕这些量展开：
- 首项：数列的第一个数，记为 ( a_1 )（例如数列 ( 2,5,8,11\cdots ) 中，( a_1=2 )）；
- 公差：相邻两项的差值（后项减前项），记为 ( d )（上述数列中，( d=5-2=3 )，且所有相邻项差值恒定）；
- 项数：数列中元素的个数，记为 ( n )（例如求“前5项和”时，( n=5 )）；
- 末项：数列的第 ( n ) 项，记为 ( a_n )（可由首项和公差推导：( a_n = a_1 + (n-1)d )，上述数列第5项为 ( a_5=2+(5-1)\times3=14 )）；
- 前( n )项和：数列前 ( n ) 个元素的总和，记为 ( S_n )（本文核心求算目标）。
二、等差数列的两个核心求和公式
等差数列求和公式有两种形式，分别适用于“已知末项”和“未知末项”的场景，本质是相通的（可相互推导）。
公式1：已知首项、末项和项数（最直观的形式）
公式表达式：
[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} ]
推导过程（倒序相加法，高斯求和的本质）：
以“求 ( 1+2+3+\cdots+100 ) 的和”为例，高斯的思路可推广到所有等差数列：
- 写出前 ( n ) 项和的正序：( S_n = a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + \cdots + a_n )；
- 写出前 ( n ) 项和的倒序：( S_n = a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \cdots + a_1 )；
- 将正序和倒序对应项相加，每一组的和均为 ( a_1 + a_n )（例如正序第1项+倒序第1项：( a_1+a_n )；正序第2项+倒序第2项：( (a_1+d)+(a_n-d)=a_1+a_n )，以此类推）；
- 总共有 ( n ) 组这样的和，因此：( 2S_n = n(a_1 + a_n) )，两边除以2即得公式1。
适用场景：
已知 ( a_1 )（首项）、( a_n )（末项）、( n )（项数），直接代入计算。
示例：求等差数列 ( 3,7,11,15 ) 的前4项和。
已知 ( a_1=3 )，( a_4=15 )，( n=4 )，代入公式：
( S_4 = \frac{4\times(3+15)}{2} = 4\times9 = 36 )（验证：( 3+7+11+15=36 )，结果正确）。
公式2：已知首项、公差和项数（无需先求末项）
公式表达式：
[ S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2} \quad \text{或} \quad S_n = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2} ]
推导过程（由公式1转化而来）：
因为等差数列的末项 ( a_n = a_1 + (n-1)d )，将其代入公式1：
[ S_n = \frac{n\left[a_1 + a_1 + (n-1)d\right]}{2} = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2} ]
展开后即可得到 ( S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2} )（两种形式等价，前者更便于分步计算）。
适用场景：
已知 ( a_1 )（首项）、( d )（公差）、( n )（项数），无需先求末项，直接代入计算。
示例：求等差数列 ( 2,5,8,11\cdots ) 的前6项和。
已知 ( a_1=2 )，( d=3 )，( n=6 )，代入公式：
( S_6 = 6\times2 + \frac{6\times(6-1)\times3}{2} = 12 + \frac{6\times5\times3}{2} = 12 + 45 = 57 )（验证：( 2+5+8+11+14+17=57 )，结果正确）。
三、公式选择与注意事项
- 公式选择原则：
- 若已知“末项 ( a_n )”，优先用公式1（计算更简洁）；
- 若未知“末项 ( a_n )”，但已知“公差 ( d )”，用公式2（避免额外计算末项）。
- 关键易错点：
- 项数 ( n ) 的确定：例如“求数列 ( 4,7,10\cdots,31 ) 的项数”，需用 ( a_n = a_1 + (n-1)d ) 反推：( 31 = 4 + (n-1)\times3 )，解得 ( n=10 )（注意：不是 ( (31-4)\div3=9 )，需加1）；
- 公差 ( d ) 的符号：若数列为递减数列（如 ( 10,7,4,1\cdots )），公差 ( d=-3 )，代入公式时需保留负号，避免符号错误。
四、总结
等差数列求和的核心是“利用数列的对称性（倒序相加）”或“用首项、公差表示所有项”，两个公式的关系可总结为：
[ \boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \xleftrightarrow{\text{代入 } a_n = a_1 + (n-1)d} S_n = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2}} ]
记忆时无需死记硬背，理解推导逻辑后，可根据已知条件灵活选择公式。
//6 – 2 – 3 for
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
//a is initial condition
//b is the stop step condition
//c is the sentence that will be executed when each time we finished the {} sentence’s execution
/*for (a;b ; c)
{
}*/
/*int sum = 0;
for (int i =1; i <= 5; ++i)
{
sum += i;
}
cout << sum << endl;*/
/*int n;
//method 1
while (cin >> n) {
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
sum += i;
}
cout << sum << endl;
}*/
/*int n;
//method 2
while (cin >> n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum += i;
}
cout << sum << endl;
}*/
/*
int n;
//method 3
while (cin >> n) {
int sum;
int i;
for (sum = 0, i = 1; i <= n; ++i) {
sum += i;
}
cout << sum << endl;
}
*/
/*
int n;
//4.dead repeat
while (cin >> n) {
int sum;
int i;
for (sum = 0, i = 1;; ++i) {
sum += i;
}
cout << sum << endl;
}
*/
int n;
//4.dead repeat
while (cin >> n) {
int sum;
int i;
for (sum = 0, i = 1;i<=n; ) {
sum += i;
++i;
}
cout << sum << endl;
}
//while repeat doesn’t have the initial step
return 0;
}
//6-3-1 break
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
//1. the break in while;
int cnt = 0;
while (1) {
cnt++;
cout << “current number is ” << cnt << endl;
if (cnt > 20) {
break;
//break is jump out this repeat
}
}
cout << “——-” << endl;
//2. the break in for;
cnt = 20;
for (int i = 1; ;++i) {
cout << “current number is ” << i << endl;
if (i > cnt) {
break;
//break is jump out this repeat
}
//if this if sentence wrote in the for condition 2’s place, the code will be more complicative
}
cout << “——-” << endl;
//3. the break in switch case;
int a = 1;
switch (a) {
case 1:
cout << “Vito” << endl;
break; //if we aren’t all this break,the least included default will be outputed until met the break again
case 2:
cout << “Algorithm” << endl;
default:
cout << “Algorithm2” << endl;
}
return 0;
}
//6 – 3 – 2 continue
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
/*
for (int i = 0; i < 10; ++i)
{
if (i < 3) {
continue;
}
cout << i << endl;
}
*/
/*
for (int i = 0; i < 10; )
{
if (i < 3) {
continue;
//after the continue, the program will judege the for’s condition 2
}
cout << i << endl;
++i;
//if we put the ++i on this place, this repetition will be the dead repetition, we must pay more attention when continue existed in the for sentence
}
*/
int a;
while (cin >> a){
if (a == 0) {
continue;
//continue is end up this time’s repetition
}
cout << a << endl;
}
return 0;
}