//5 – 6 – 3 XOR Exclusive OR operator
#include <iostream>
using namespace std;
/*
^ XOR :XOR from high to low,if two values are unequal, there will be 1
*/
int main() {
//1.the XOR’s definition
int a = 0b1010;
int b = 0b0110;
// ^ = 0b1100; //Dec = 12
cout << (a ^ b) << endl;
cout << “———-” << endl;
//2.Reverse the flag bit
int c = 0b1000101;
// 0b0001000;
cout << c << endl;
cout << (c ^ 0b1000) << endl; // the first xor
cout << ((c ^ 0b1000) ^ 0b1000) << endl;//xor again,xor is adaptive to the exchange and combine rules
//two equal values,then xor will be full of the 0
cout << “———-” << endl;
//3.exchange the values
int d = 17;
int e = 19;
d = d ^ e;
e = d ^ e; // = d’ ^ e = d ^ e ^ e = d ^ 0 = d
d = d ^ e; // = d’ ^ d = d ^ e ^ d = d ^ d ^ e =0 ^ e = e, xor is adapt to the exchange rule
cout << d << ‘ ‘ << e << endl;
//3.1 any values xor with 0, it’s the same value ifself;
//3.2 two same values xor, the output will be 0;
//3.3 xor is adaptive to the exchange and the combine rule;
//exclusive OR(XOR):not promote bit’s binary add rule(不带进位的二进制加法)
cout << “———-” << endl;
//4.occur the odd’s number(出现奇数次的数)
int f = 3;//0b011
int g = 4;//0b100
int res = f ^ g ^ f; //=f^f^g=0^g=g
cout << res << endl;
//even’s number will finally become 0, and the odds will be left finally
cout << “———-” << endl;
//5.encrypt
int x = 1314;
cout << “520” << x << endl;
int y = (x ^ 3135); // 3135 is the key
cout << “520” << y << endl; //5202333
cout << “520” << (y ^ 3135) << endl; //decrypt
return 0;
}
AI：
好问题👍
这个其实是理解 XOR（异或）运算 的核心所在。我们慢慢来，不急着看公式。先一步步想清楚概念。
⸻
先回忆一下普通的 二进制加法：
A B A+B（带进位）
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 10（进位1，结果0）
看到最后一行了吗？
只有当 A 和 B 都是 1 时，才会产生 进位。
⸻
现在我们看 XOR 的真值表：
A B A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
是不是发现——
XOR 跟普通加法几乎一模一样，只是当 1+1 时，它不产生进位，而是直接输出 0。
也就是说：
XOR 就像是在做「不考虑进位」的二进制加法。
⸻
我们换个角度想：
在二进制加法里，其实结果有两个部分：
1. 和（Sum）：就是不带进位的部分 → A ⊕ B
2. 进位（Carry）：是产生进位的部分 → A & B
所以：
A + B = (A ⊕ B) + ((A & B) << 1)
这就是计算机做加法的原理（位运算实现加法）。
⸻
我想确认你理解到这里：
你能解释一下「为什么当 A=1 且 B=1 时 XOR 的结果是 0 吗」？
（提示：想想这时“1+1”的结果在二进制下是什么样的）
AI2：
对！你说对了 👏
不过我们可以再把这句话拆开一点，让逻辑更清晰。
当 A=1、B=1 时，普通加法得到 10（也就是结果位 0，进位 1）。
而 XOR 只保留“结果位”，不管进位，所以它只取 0。
换句话说：
• 普通加法 = 结果位 + 进位
• XOR = 只要结果位，不要进位
所以我们说它是 “不带进位的二进制加法”。
⸻
来，我们检验一下你的理解：
我给你两个二进制数：
A = 1011
B = 1101
你能试着算出 A ⊕ B 的结果吗？
（一步一步来，不用急——我们只做 XOR，不带进位的）
AI3：
太棒了 🎯 完全正确！
我们来一起验证一下思路：
1011
⊕ 1101
= 0110
逐位解释：
A B A⊕B
1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
✅ 结果：0110
⸻
小结一下：
• XOR（异或）相当于“不带进位的二进制加法”；
• 如果要做完整的加法，就要加上 进位 = A & B 的那一部分。
⸻
想让我带你一起推一推，怎么用 “XOR + AND + 移位” 来在 C 语言里实现一个不用 + 的加法器吗？
AI4:
很好～那我们一起来“拆解”加法器的思路吧。
我们先从逻辑讲起，不直接写代码。
⸻
🧩 第一步：回忆一下我们刚才说的公式
普通二进制加法可以写成：
Sum = A ⊕ B // 不带进位的部分
Carry = (A & B) << 1 // 进位，往左移一位
但这个 Carry 可能又会跟 Sum 相加，还会继续产生新的进位。
所以我们要 重复这个过程，直到进位变成 0。
⸻
💡 第二步：我们可以用循环实现这个过程
每一轮做的事：
1. sum = a ⊕ b
2. carry = (a & b) << 1
3. 把 a = sum, b = carry
4. 继续直到 carry == 0
⸻
🔧 第三步：用 C 语言写出来
int add(int a, int b) {
while (b != 0) {
int sum = a ^ b; // 不带进位的和
int carry = (a & b) << 1; // 计算进位
a = sum; // 更新a
b = carry; // 更新b
}
return a;
}
⸻
这个算法完全没用 + 或 -，却能实现加法。
现在我想考考你 😏
假如我们输入 add(5, 3)，
你能试着写出每一轮循环里 a、b、sum、carry 的变化吗？（我们可以先看前两轮）
AI5:
没关系～这个地方第一次接触确实有点绕，我们慢慢拆开。
我们先换个思路：别看代码，先把**“加法的过程”**想象成两步循环发生的事。
⸻
🧠 想象一下你要算 5 + 3
先写成二进制：
5 = 0101
3 = 0011
⸻
第一步：XOR，不带进位加法
我们先做 “不带进位”的加法（XOR）：
0101
⊕ 0011
= 0110 ← 这就是 6
但因为有些地方 “1+1” 了（会产生进位），我们还得算出进位。
⸻
第二步：AND，然后左移一位
计算哪些位置产生进位：
0101
& 0011
= 0001
进位要往左移动一位（因为二进制加法中进位加到下一列）：
0001 << 1 = 0010
这代表进位是 2。
⸻
第三步：再加一次
现在我们要把
不带进位的结果 0110 (6)
再加上进位 0010 (2)
所以我们又回到第一步——再做一次 XOR + AND。
⸻
看到这个循环了吗？
每次做：
1. 不带进位加法（XOR）
2. 算出新的进位（AND << 1）
3. 如果进位不为 0，就再来一轮。
最后进位变成 0，结果就是最终的和。
⸻
这样解释有点清楚了吗？
要不要我帮你把上面的例子（5 + 3）一步步继续算完，让你看到循环怎么结束的？
AI6:
很好，我们就把刚才那个例子（5 + 3）一步一步完整推到底 💪
⸻
🧩 起始值：
a = 0101 (5)
b = 0011 (3)
⸻
🌀 第 1 轮循环
1️⃣ 不带进位加法（XOR）
0101
⊕ 0011
= 0110 → sum = 6
2️⃣ 计算进位（AND，然后左移）
0101
& 0011
= 0001
0001 << 1 = 0010 → carry = 2
更新 a、b：
a = 0110 (6)
b = 0010 (2)
⸻
🌀 第 2 轮循环
1️⃣ XOR
0110
⊕ 0010
= 0100 → sum = 4
2️⃣ AND + 左移
0110
& 0010 = 0010
0010 << 1 = 0100 → carry = 4
更新 a、b：
a = 0100 (4)
b = 0100 (4)
⸻
🌀 第 3 轮循环
1️⃣ XOR
0100
⊕ 0100
= 0000 → sum = 0
2️⃣ AND + 左移
0100
& 0100 = 0100
0100 << 1 = 1000 → carry = 8
更新 a、b：
a = 0000
b = 1000
⸻
🌀 第 4 轮循环
1️⃣ XOR
0000
⊕ 1000
= 1000 → sum = 8
2️⃣ AND + 左移
0000
& 1000 = 0000
0000 << 1 = 0000 → carry = 0
这时 b = 0，循环结束 ✅
⸻
🎯 最终结果
a = 1000（二进制）
= 8（十进制）
所以 add(5, 3) 的结果就是 8。
⸻
你能看到：
• 每一轮 “不带进位加法” 用 XOR；
• 每一轮 “进位” 用 AND 然后左移；
• 不断重复，直到进位没了。
⸻
要不要我帮你画一张小图，把这个「XOR + AND + 循环」的逻辑画成流程图？那样会更容易记。
AI7:
你的结论非常准确！**异或（XOR）运算确实是找到“数组中出现奇数次数字”的高效方法**，尤其适用于“只有1个或2个数字出现奇数次，其余数字均出现偶数次”的场景。其核心优势在于**时间复杂度O(n)、空间复杂度O(1)**（无需额外存储大量数据），远优于哈希表等需要额外空间的方法。
要理解为什么XOR能做到这一点，首先需要掌握XOR运算的4条核心性质，这是整个逻辑的基础：
### 一、XOR运算的核心性质
异或运算用符号“^”表示，运算规则是“**相同为0，不同为1**”（二进制层面），但从实用角度，更关键的是其推导出来的4条规律：
1. **交换律**：`a ^ b = b ^ a`（顺序不影响结果）
2. **结合律**：`(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)`（分组不影响结果）
3. **自身异或为0**：`a ^ a = 0`（一个数和自己异或，结果为0）
4. **与0异或为自身**：`a ^ 0 = a`（一个数和0异或，结果还是它本身）
### 二、场景1：只有1个数字出现奇数次，其余均为偶数次
这是最基础的场景，也是XOR应用的核心。
#### 原理推导：
假设数组为`[a, b, c, a, b]`，其中`c`出现1次（奇数次），`a`和`b`各出现2次（偶数次）。
根据交换律和结合律，我们可以将“相同数字”优先分组异或：
`(a ^ a) ^ (b ^ b) ^ c`
根据“自身异或为0”，`a^a=0`，`b^b=0`，代入后得到：
`0 ^ 0 ^ c`
再根据“与0异或为自身”，`0^0=0`，最终结果为：
`0 ^ c = c`
可见，**所有出现偶数次的数字会通过异或“抵消”为0，最终剩下的就是出现奇数次的数字**。
#### 实例演示：
数组`[2, 3, 2, 4, 4, 3, 3]`，其中`3`出现3次（奇数次），其余数字各出现2次（偶数次）。
计算过程：
`2 ^ 3 ^ 2 ^ 4 ^ 4 ^ 3 ^ 3`
= `(2^2) ^ (3^3^3) ^ (4^4)`
= `0 ^ (0 ^ 3) ^ 0`
= `0 ^ 3 ^ 0`
= `3`
最终结果恰好是出现奇数次的`3`。
### 三、场景2：有2个数字出现奇数次，其余均为偶数次
如果数组中有2个数字（设为`x`和`y`）出现奇数次，其余均为偶数次，XOR同样能解决，但需要多一步“分组拆分”。
#### 原理推导：
1. **第一步：得到x^y**
对整个数组异或，所有出现偶数次的数字会抵消为0，最终结果为：`0 ^ x ^ y = x ^ y`（记为`res = x ^ y`）。
由于`x ≠ y`（若x=y则出现次数为偶数，矛盾），`res`的二进制中**至少有1位是1**（这是关键：说明x和y在这一位上的二进制值不同）。
2. **第二步：找到“区分位”，拆分数组**
找到`res`中任意一个为1的二进制位（比如最低位的1，记为`mask`）。
用`mask`对数组中所有数字进行“与运算”：
– 数字与`mask`的结果为1：放入组A（这类数字在“区分位”上为1）
– 数字与`mask`的结果为0：放入组B（这类数字在“区分位”上为0）
由于`mask`是`x^y`的为1的位，`x`和`y`会被分到不同的组（一个在A，一个在B），且**每组内只有1个数字出现奇数次**（其余均为偶数次）。
3. **第三步：分别求x和y**
对组A所有数字异或，得到其中出现奇数次的数字（比如`x`）；
对组B所有数字异或，得到另一个出现奇数次的数字（比如`y`）。
#### 实例演示：
数组`[1, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 5]`，其中`1`和`5`各出现1次（奇数次），其余数字各出现2次（偶数次）。
1. 全数组异或：`1^2^3^2^3^4^4^5 = 1^5 = 4`（二进制`100`，即`res=4`）。
2. 找区分位：`res=4`的最低为1的位是第3位（二进制`100`），`mask=4`。
3. 分组：
– 组A（数字&4=1）：`4`（4&4=4≠1？重新算：数组中数字是1(001)、2(010)、3(011)、4(100)、5(101)。mask=4(100)，则：
– 1&4=0 → 组B
– 2&4=0 → 组B
– 3&4=0 → 组B
– 4&4=4 → 组A
– 5&4=4 → 组A
最终组A：`[4,4,5]`（5出现1次奇数次），组B：`[1,2,3,2,3]`（1出现1次奇数次）。
4. 分组异或：
– 组A异或：`4^4^5=5`
– 组B异或：`1^2^3^2^3=1`
得到两个出现奇数次的数字`1`和`5`。
### 四、注意事项
XOR的这个用法有一个严格前提：**除了目标数字（1个或2个），其余所有数字必须出现偶数次**。如果有3个及以上数字出现奇数次，单纯用XOR无法直接找到所有目标（需要结合更复杂的逻辑，如哈希表统计次数）。
综上，XOR利用其独特的运算性质，实现了“零额外空间找奇数次数字”的高效解法，是算法面试中非常经典的考点。
AI8-1：
很好 👍 那我们就从「为什么要有补码」讲起。
⸻
在计算机里，加法和减法最好都能用“加法器”来完成，因为电路实现加法比减法简单。
但问题是：
如果我们用“原码”表示负数，比如：
十进制 原码（二进制 8 位）
+5 0000 0101
-5 1000 0101
你会发现：
(+5) + (-5) = 0000 0101 + 1000 0101 = 1000 1010 → 这并不是 0！
所以原码不能直接用于运算。
⸻
于是就有了一个聪明的办法——补码（Two’s Complement）。
它的思路是：
让“负数”变成一种特殊的正数形式，这样加法电路就能处理它。
⸻
计算规则（以 8 位为例）：
1️⃣ 正数的补码 = 原码（不变）
2️⃣ 负数的补码 = 先取反（把 1→0，0→1），再 +1
例如：
-5 的原码是 1000 0101
→ 取反：0111 1010
→ 加 1：0111 1011
所以 -5 的补码是 1111 1011（注意最高位 1 表示负号）。
⸻
当你用补码运算时：
(+5) + (-5)
= 0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000
去掉溢出的最高位 → 0000 0000 ✅（结果正确！）
⸻
我想让你试一下：
👉 请你帮我算算，在 8 位系统下，-3 的补码是什么？
（记得：先取反，再加 1）
AI8-2:
非常好 👏，你算得完全正确！
我们来验证一下你的过程：
• 原码（-3）：1000 0011
• 取反：0111 1100
• 加 1：0111 1101
→ 所以补码是 1111 1101 ✅
⸻
现在你已经理解了补码的生成方式。
我们再往下一步走一点：
你觉得用补码来表示负数，有什么好处呢？
（提示：它跟加法、减法、电路设计的关系很大～）
AI8-3:
完全正确！👏👏
你已经抓到补码最关键的两个优点了：
1️⃣ 简化电路设计：
因为加法和减法都可以用同一个“加法器”完成。
举个例子：
想算 5 – 3，其实就是 5 + (-3)。
如果 -3 用补码表示，就能直接丢进加法器里计算。
2️⃣ 避免算错数（特别是符号位的问题）：
在原码或反码下，符号位要单独处理，容易出错；
但补码让符号位“融入”了数值部分，整体运算更自然。
⸻
来个小练习巩固一下？
👉 如果是 8 位系统，1111 0110 这个补码代表的是十进制多少？
（提示：你可以先判断它是正数还是负数，再反推出原码。）
//5 – 6 – 4 reverse relied on each bit(bitwise NOT)
#include <iostream>
using namespace std;
/*
~ reverse relied on each bit’s symbol(bitwise NOT)
this is an unary operator(单目运算符)
*/
int main() {
//1.the unary operator’s (reverse relied on each bit’s symbol) definition
int a = 0b00000000000000000000000000000001;
int b = 0b11111111111111111111111111111110; //four 8 bits number
cout << (~a) << endl; //-2
cout << b << endl; //-2
cout << “—————” << endl;
//2.Two’s Complement（补码）
//if 0b00000000000000000000000000000000 = 0
//and if 0b11111111111111111111111111111111 = -1
//then minus 1 0b11111111111111111111111111111110 = -2
int c = 0b0;
cout << (~c) << endl; // 32 bits’ 1 will output -1
cout << “—————” << endl;
//3.get the reverse number
int d = 18;
cout << (~d + 1) << endl;//-18
//原码、反码、补码、移码
//1’s ~ (bitwise NOT) is -2
//0’s ~ (bitwise NOT) is -1
return 0;
}
AI8-3：
在计算机中，0b0（二进制0）按位取反后结果为-1，这是由**按位取反的运算规则**和**补码表示法**共同决定的，核心原因在于计算机用补码表示有符号整数。
### 具体分析步骤：
#### 1. 明确“0b0”的二进制完整形式
在计算机中，整数通常以固定位数（如32位、64位）的二进制存储。例如，32位系统中，`0b0`（十进制0）的二进制是**32个0**：
`00000000 00000000 00000000 00000000`
#### 2. 按位取反（~）的运算规则
按位取反会将二进制的每一位都翻转（0变1，1变0）。因此，32位的0取反后，所有0都会变成1，结果是**32个1**：
`11111111 11111111 11111111 11111111`
#### 3. 补码中“全1”表示-1
计算机中，有符号整数用**补码**表示，规则是：
– 正数的补码 = 原码（符号位为0，数值位为本身）；
– 负数的补码 = 反码 + 1（反码是原码除符号位外取反）。
而“全1”的二进制（如32位的`11111111…1111`）恰好是-1的补码：
– 推导：假设求-1的32位补码
– 1的原码：`00000000…0001`
– 1的反码（除符号位外取反）：`11111111…1110`（符号位为1，表示负数）
– 反码加1得补码：`11111111…1110 + 1 = 11111111…1111`
#### 4. 验证逻辑合理性
从运算逻辑上看，-1的补码“全1”满足补码的核心特性：**负数加其绝对值等于0**。
例如：`-1 + 1 = 0`
– -1的补码：`11111111…1111`
– 1的补码：`00000000…0001`
– 相加结果：`11111111…1111 + 00000000…0001 = 100000000…0000`（溢出后截断为32位，结果为`00000000…0000`，即0），完全符合逻辑。
### 结论
0b0按位取反后得到“全1”的二进制，而在补码表示法中，“全1”恰好是-1的编码，因此结果为-1。这是计算机为了统一加减法运算（将减法转化为加法）而设计的补码规则导致的必然结果。
AI9-1:
为什么 这样 //3.get the reverse number
int d = 18;
cout << (~d + 1) << endl;//-18
这段代码的输出结果为`-18`，核心原因是：**`~d + 1` 是计算机中求一个整数相反数（负数）的标准操作**，这是由补码的运算规则决定的。
### 具体分析步骤：
#### 1. 明确 `d = 18` 的二进制补码
在C++中，`int` 通常为32位有符号整数，用补码表示。
18的二进制原码（正数的补码与原码相同）为：
`00000000 00000000 00000000 00010010`
#### 2. 按位取反 `~d` 的结果
`~` 是按位取反运算符，将二进制每一位翻转（0变1，1变0）。
对18的补码取反后得到：
`11111111 11111111 11111111 11101101`
#### 3. 加1操作 `~d + 1` 的结果
取反后加1，得到：
`11111111 11111111 11111111 11101101 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11101110`
#### 4. 该结果是 `-18` 的补码
在补码规则中，负数的补码定义为“其绝对值的反码 + 1”。
– 18的绝对值是18，其原码为 `00000000…00010010`
– 反码为 `11111111…11101101`（除符号位外取反）
– 反码加1后正是 `11111111…11101110`，即 `-18` 的补码。
### 结论
`~d + 1` 本质是**通过补码运算求 `d` 的相反数**。对于任意整数 `d`，`~d + 1` 的结果恒等于 `-d`，因此当 `d = 18` 时，输出自然为 `-18`。这是计算机中利用补码统一加减法运算的典型应用。
AI9-2:
哦，你这里用的这一行代码，其实就是在用 补码的原理 来求负数。我们慢慢拆开来看：
int d = 18;
cout << (~d + 1) << endl; // 输出 -18
⸻
1️⃣ ~d 是什么？
• ~ 是 按位取反（bitwise NOT）
• 18 的二进制（32 位 int 为例）：
00000000 00000000 00000000 00010010
• 取反后：
11111111 11111111 11111111 11101101
这就是 18 的反码。
⸻
2️⃣ +1 是为什么？
• 在补码表示中，负数 = 取反 +1
• 所以：
~18 + 1
= 11111111 11111111 11111111 11101101 + 1
= 11111111 11111111 11111111 11101110
• 这就是 -18 的补码，所以输出就是 -18。
⸻
🔑 核心理解
• ~d + 1 就是 求 d 的补码负数
• 换句话说，这种方式可以把一个正数变成负数
⸻
如果你愿意，我可以画一张 正数 → 取反 → +1 → 负数补码 的流程图，让你一眼就看懂为什么会是 -18。
AI10：
好呀，我们把这些概念理一理，它们都是计算机表示有符号数的方法，但用法和原理不同。我们用 8 位为例子来讲。
⸻
1️⃣原码（Sign-Magnitude）
• 规则：最高位是符号位，0 表示正，1 表示负，其余位表示数值大小。
• 例子：
• +5 → 0000 0101
• -5 → 1000 0101
• 问题：加减法电路麻烦，需要特殊处理符号位。
⸻
2️⃣反码（Ones’ Complement）
• 规则：
• 正数：与原码相同
• 负数：原码符号位不变，其余位取反
• 例子：
• +5 → 0000 0101
• -5 → 1111 1010
• 特点：减法可以用加法器做，但有“0 的两种表示”（0000 0000 和 1111 1111）。
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3️⃣补码（Two’s Complement）
• 规则：
• 正数：原码不变
• 负数：取反 +1
• 例子：
• +5 → 0000 0101
• -5 → 1111 1011
• 特点：
• 加减法都可以直接用加法器
• 只有一种 0 表示
• 最高位仍表示符号（1 负，0 正）
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4️⃣移码（Biased / Excess-K）
• 规则：把原码加上一个偏移值（bias），通常 bias = 2^(n-1)，使所有数都是正数
• 用途：浮点数指数部分常用移码
• 例子（8 位，bias = 128）：
• 真值 0 → 1000 0000
• 真值 -5 → 1000 0000 – 5 = 0111 1011
• 真值 +5 → 1000 0000 + 5 = 1000 0101
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如果你愿意，我可以画一张图表把原码、反码、补码、移码对比起来，一眼就能看懂它们的关系。
你想要我画吗？