作者： supervito

#C++ Day17 October 27 2025

//9 – 7 – 1 pointer parameter passing

//指传参函数的址传递

#include <iostream>

using namespace std;

//函数的值传递 value transport in function

void swap(int a, int b) {

cout << “函数的值传递：” << endl;

cout << “the address of a after calling the function” << &a << endl;

cout << “the address of b after calling the function” << &b << endl;

int temp = a;

a = b;

b = temp;

}

//函数的址传递 address transport in function

void swap(int *a, int *b) {

cout << “函数的址传递：” << endl;

cout << “the address of a after calling the function” << a << endl; //if we add & before a, we will get a pointer’s address

cout << “the address of b after calling the function” << b << endl;

cout << “————” << endl;

int temp = *a;

cout << “the value of a after calling the function= ” << *a << endl; //if we add & before a, we will get a pointer’s address

cout << “the value of b after calling the function= ” << *b << endl;

cout << “the value of temp after calling the function= ” << temp << endl;

cout << “————” << endl;

*a = *b;

cout << “the value of a after calling the function= ” << *a << endl; //if we add & before a, we will get a pointer’s address

cout << “the value of b after calling the function= ” << *b << endl;

cout << “the value of temp after calling the function= ” << temp << endl;

cout << “————” << endl;

*b = temp;//temp is a temporarily variable, which will be destroied after the calling over

cout << “the value of a after calling the function= ” << *a << endl; //if we add & before a, we will get a pointer’s address

cout << “the value of b after calling the function= ” << *b << endl;

cout << “the value of temp after calling the function= ” << temp << endl;

}

int main() {

int a = 1;

int b = 2;

cout << “the address of a before calling the function” << &a << endl;

cout << “the address of b before calling the function” << &b << endl;

cout << “————” << endl;

swap(a, b);

cout << “————” << endl;

swap(&a, &b);//函数重载

cout << “————” << endl;

cout << “a = ” << a << endl;

cout << “b = ” <

using namespace std;

int* func() {

return NULL;

}

int* getArray(int a, int d, int n) {

//function is getArray, return value is an int pointer, the pointer is actually an address

int* ret = new int[n];//apply a new dynamic RAM space

//use the array as the type of first address

/*

ret [0]=a;

ret [1]=a + d;

…

ret [i]=a + i*d ;

*/

for (int i = 0; i < n; ++i) {

ret[i] = a + i * d;

}

return ret;//return the array’s first address

}

int main() {

int* ans = getArray(5, 3, 6);//首项 5,公差3,6个元素

for (int i = 0; i < 6; ++i) {

cout << *(ans+i) << endl; //指针偏移 pointer shift and getting the value in the array

}

for (int i = 0; i < 6; ++i) {

cout << ans[i] << endl; //pointer better not used like this

}

return 0;

}

//9 – 7 – 3 function pointer

//函数指针

//遇到这种概念，先看最后两个字指针

#include <iostream>

using namespace std;

double (*ptr)(int a, int b, int c);

void (*ptr1)(int a, int b);

double func(int a, int b, int c) {

cout << a << “,” << b << “,” << c << endl;

return 0.0;

}

void func1(int a, int b) {

cout << a << “,” << b << endl;

}

int main() {

ptr = func;

ptr(4, 5, 6);

//ptr = func1; //error

//函数指针赋值时参数要匹配，返回值也要匹配

ptr1 = func1;

ptr1(5, 6);

return 0;

}

AI：

好问题～这个是 C 语言学习里一个经典又容易混淆的点 👍

在我们开始解释前，我想先确认一下：你现在大概对「指针」和「函数」本身都已经了解了吗？比如知道什么是指针变量、会写普通函数？

（我问这个是为了决定要从多基础讲起，还是直接讲语法和区别。）

先简单预告一下区别：

名称意思举例重点

指针函数 返回值是“指针”的函数 int *func(); “函数→返回一个指针”

函数指针 指向函数的“指针变量” int (*pfunc)(); “指针→指向一个函数”

但要真正理解这两个，最好先从语法结构和用法一点点推。

所以我想先确认你：

👉 你希望我从「指针函数」和「函数指针」的语法差异讲起，还是从它们在内存和调用上的区别讲起？

太好啦 ❤️～那我们就专注讲语法差异！

⸻

🧩 一、指针函数（Function returning pointer）

定义：

函数的返回值是一个指针。

语法结构：

类型 *函数名(参数列表);

例子：

int *getNum() {

static int a = 10;

return &a;

}

📘解释：

• 这是一个函数 getNum()；

• 它返回 int*（指向整型的指针）；

• 所以叫“指针函数”。

📌 小技巧：

把“*”看作修饰返回值类型的标志。

int *f(); // f 是函数，返回 int*

⸻

🧠 二、函数指针（Pointer to function）

定义：

一个指针变量，用来指向一个函数的入口地址。

语法结构：

返回类型 (*指针名)(参数列表);

例子：

int add(int a, int b) {

return a + b;

}

int (*p)(int, int); // 定义一个函数指针

p = add; // 让指针指向函数

int result = p(3, 5);

📘解释：

• p 是一个指针；

• (*p)(int, int) 表示 p 指向一个参数为 (int,int)、返回值为 int 的函数；

• 调用时 p(3,5) 和 add(3,5) 一样。

📌 小技巧：

括号里有 * 的一般是“函数指针”；

括号外面有 * 的一般是“指针函数”。

⸻

🔍 三、对比记忆口诀

区别 指针函数 函数指针

本质函数指针变量

定义返回一个指针的函数指向函数的指针

写法 int *f(); int (*f)();

括号位置 * 在函数名右边 * 在函数名外层括号里

调用方式直接 f() 可通过指针 pf() 调用

⸻

如果你想更牢一点记忆这个，我可以帮你出几道“判断写法属于哪一种”的练习题（比如让你区分 int *f(int); 和 int (*f)(int);），要不要我帮你做几道练习题？ ❤️

太棒啦～(๑>◡<๑)💕

那我们来玩个小小的练习游戏：我先出题，你先判断它是「指针函数」还是「函数指针」，然后我帮你讲解理由～

⸻

🌟 题目 1

int *fun1();

👉 你觉得它是 指针函数 还是 函数指针？

⸻

🌟 题目 2

int (*fun2)();

👉 它是 指针函数 还是 函数指针？

⸻

🌟 题目 3

char *getName(int id);

👉 这个是 指针函数 还是 函数指针？

⸻

🌟 题目 4

void (*signal(int, void (*)(int)))(int);

👉 这个比较难，它是 指针函数 还是 函数指针？

⸻

先试着回答前 3 题（第 4 题我等你答完后再一起拆开讲 👀）

你来试试看～

哇～👏👏全都答对啦！你太棒啦～✨✨

（第 4 题也答对真的厉害，这题很多大学期末都能考倒人呢 🧠）

下面我给你逐题解释一下，让你彻底吃透它们的语法结构👇

⸻

🩵 题目 1：

int *fun1();

✅ 指针函数

📖 解释：

• fun1 是一个函数；

• 函数返回 int*（指向 int 的指针）。

👉 所以是“函数 → 返回一个指针”。

⸻

💜 题目 2：

int (*fun2)();

✅ 函数指针

📖 解释：

• fun2 是一个指针（*fun2）；

• 这个指针指向的对象是一个函数（() 表明它是函数）；

• 这个函数的返回类型是 int。

👉 所以是“指针 → 指向函数”。

⸻

💚 题目 3：

char *getName(int id);

✅ 指针函数

📖 解释：

• getName 是一个函数；

• 参数是 (int id)；

• 返回值是 char*（字符串指针）。

👉 这是典型的指针函数。

⸻

❤️ 题目 4：

void (*signal(int, void (*)(int)))(int);

✅ 函数指针

📖 拆解：

• 外层结构是 signal(…)，所以它是一个函数；

• 但这个函数返回的类型是：void (*)(int)；

→ 意思是：返回一个“指向 void f(int) 函数”的指针。

👉 所以这是一个 返回函数指针的函数（函数指针函数 😂）。

可以理解成：

typedef void (*handler)(int);

handler signal(int, handler);

是不是立刻清晰多啦～✨

⸻

要不要我帮你出第二组题，这次难度稍微提升一点（带参数和 typedef 的混合写法）？

可以用来训练你一眼识别语法结构的感觉～

//9 – 7 – 4 Function pointer type definition

//函数指针类型定义

#include <iostream>

using namespace std;

//the definition of definiting the function pointer

//函数指针的定义

void (*fptr1) (int a, int b, int c, float d, char e);

void (*fptr2) (int a, int b, int c, float d, char e);

//如果我还想定义一个函数指针，那就改一下名字

void func1(int a, int b, int c, float d, char e) {

cout << “func1” << endl;

}

//函数指针类型定义

// 这样子不用重复写新的函数指针

//Function pointer type definition

typedef void (*fptr) (int a, int b, int c, float d, char e);

//一旦有颜色说明是一种类型

int main() {

fptr1 = func1;

fptr1(1, 2, 3, 4, 5);

fptr2 = func1;

fptr2(9,8,7,6,5);

fptr fp1 = func1;

//通过这个类型定义一个变量然后初始化把func1 赋值过去

//跟int x =6;格式类似

fp1(5, 6, 7, 8, 9);

return 0;

}

//9 – 7 – 5 array of function pointer

//函数指针数组

//实际上是一个数组，数组中每一个元素都是函数指针

//[函数指针1,函数指针2,……,]

//定义函数指针类型

//typedef void (*fptr) (int a, int b, double c, float d, char e);

//加上[] 立马变函数指针数组类型

//定义函数指针数组方式1：[]中括号写定义里

typedef void (*fptrs[50]) (int a, int b, double c, float d, char e);

//typedef void (*fptrs[]) (int a, int b, double c, float d, char e);

//定义函数指针数组方2：[]中括号不写定义里，在后面使用时才写

typedef void (*fptr) (int a, int b, double c, float d, char e);

#include <iostream>

using namespace std;

void func1(int a, int b, double c, float d, char e) {

cout << “func1” << endl;

}

void func2(int a, int b, double c, float d, char e) {

cout << “func2” << endl;

}

void func3(int a, int b, double c, float d, char e) {

cout << “func3” << endl;

}

int main() {

//很像int a[] = {1,2,3};

fptrs fps = {func1,func2,func3};

//{func1,func2,func3,…,NULL}后面的都是NULL

cout << fps[0] << endl;

cout << fps[1] << endl;

cout << fps[2] << endl;

cout << fps[3] << endl;

fptr fp[] = { func1,func2,func3 };

//没报错就可以

cout << fp[0] << endl;

cout << fp[1] << endl;

cout << fp[2] << endl;

return 0;

}

2025年10月27日
#C++ Day16 October 26 2025
//9 – 6 – 1 the relationship between pointer and array

#include <iostream>

using namespace std;

/*

———————————

| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |

———————————

4 4 4 4 4 bytes

int

*/

//pointer is an address and the array’s name is an address too

//

int main() {

//1.To access the array’s elements with pointer

int a[5] = {5,4,3,2,1};

cout << “array’s first element：” << a[0] << endl;

int* p = a;

cout << “array element’s first address:” << a << endl;

cout << “the address that pointer pointed to:” << p << endl;

cout << “the pointer access: the first element in the array:” << *p << endl;

//the shift number of int is 4 bytes

cout << “——————-” << endl;

cout << “the second element’s address of the array：” << &a[1] << endl;

cout << “pointer + 1 pointed address ” << p + 1 << endl;

cout << “the second element of the pointer accessed to:” << *(p + 1) << endl;

cout << “the third element’s address of the array：” << &a[2] << endl;

cout << “pointer + 2 pointed address ” << p + 2 << endl;

cout << “the third element of the pointer accessed to:” << *(p + 2) << endl;

cout << “——————-” << endl;

p++;

cout << “pointer access: array’s second element:” << *p << endl;

cout << “——————-” << endl;

//a++;//this place of the array can be the same as pointer

//the array can’t add the sequence after initiation

p = a;

for (int i = 0; i < 5; ++i) {

cout << “the array’s ” << (i + 1) << ” element is ” << *p << endl;

p++;

}

cout << “——————-” << endl;

double b[4] = { 4,3,2,1 };

double* pd = b;

cout << “the first element’s address:” << pd << endl;

pd++;

cout << “the second element’s address:” << pd << endl;

//the shift number of double is 8 bytes

//59 5A 5B 5C 5D 5E 5F 60

//hexadecimal 十六进制

//指针的+1,实际上是偏移了 sizeof(对应的指针类型)个字节

// when a pointer is incrementes by 1, it acctuall offsets by a number of bytes equal to the size of the data type that the pointer points to

//char,short, long long, float

cout << “——————-” << endl;

char c[4] = { ‘4’,’3′,’2′,’1′ };

char* pc = c;

cout << sizeof(char) << endl;

printf(“the first element’s address:%#X\n”, pc);

pc++;

printf(“the second element’s address:%#X\n”, pc);

cout << “——————-” << endl;

short d[4] = { 4,3,2,1};

short* ps = d;

cout << sizeof(short) << endl;

cout << “the first element’s address:” << ps << endl;

ps++;

cout << “the second element’s address:” << ps << endl;

cout << “——————-” << endl;

long long e[4] = { 4,3,2,1 };

long long* pll = e;

cout << sizeof(long long) << endl;

cout << “the first element’s address:” << pll << endl;

pll++;

cout << “the second element’s address:” << pll << endl;

//99 9A 9B 9C 9D 9E 9F A0

cout << “——————-” << endl;

float f[4] = { 4,3,2,1 };

float* pf = f;

cout << sizeof(float) << endl;

cout << “the first element’s address:” << pf << endl;

pf++;

cout << “the second element’s address:” << pf << endl;

return 0;

}

//9 – 6 – 2 pointer array

//指针数组

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

char a[] = “I”;

char b[] = “love”;

char c[] = “you”;

//pointer array

char* p[3];// have 3 elements, each element is a pointer

p[0] = a;

p[1] = b;

p[2] = c;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

cout << p[i] << ‘ ‘;

}

cout << endl;

//two dimensional array(matrix)

//二维数组是矩阵

int mat[3][4]{

{1,2,3,4},

{5,6,7,8},

{9,10,11,12}

};

int* pmat[3];

//[rows][columns]

pmat[0] = mat[0];//mat[0] represents the one dimensional array’s first address

//mat[0]代表一维数组的首地址

pmat[1] = mat[1];

pmat[2] = mat[2];

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

for (int j = 0; j < 4; ++j) {

cout << *(pmat[i] + j) << ‘ ‘;

//cout << pmat[i] + j << ‘ ‘;

// +j and then dereference it

}

cout << endl;

}

return 0;

}

//9 – 6 – 3 array pointer

//数组指针

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int (*p)[5];

//数组指针可以类比成二维数组

int a[4][5]{

{4,3,2,1,0},

{9,8,7,6,5},

{6,7,8,9,0},

{5,6,7,8,9}

};

p = a;

cout < 7F -> 84

//15 + 5 = 20 bytes

// 20 = 4 * 5 = sizeof(int) *5(columns)

//shift value

cout << p+1 << endl; //hex 84

cout << p << ‘:’ << &a[0] << endl;

cout << p+1 << ‘:’ << &a[1] << endl;

//理解成数组指针指向一个二维数组的首地址，所以数组指针可以类比理解成二维数组

//我们可以利用这个数组指针操作一个二维数组上的数组

return 0;

}

//9 – 6 – 4 pointer array and array pointer

//指针数组和数组指针

#include <iostream>

using namespace std;

string getHex(int x) {

char buff[10];

sprintf_s(buff, “%X”, (x & 0xFFFF));

return (string)buff;

}

int main() {

int a[3][4]{

{1,2,3,4},

{9,10,11,12},

{13,14,15,16}

};

for (int i = 0; i < 3; i++) {

for (int j = 0; j < 4; j++) {

if (j) {

cout << ‘,’;

}

int* p = &(a[i][j]);

//cout << (void*)p ;

cout << getHex((int) p);

}

cout << endl;

}

//指针数组

int* q[3] = { &a[0][0],&a[1][0],&a[2][0] }; //这个3代表数组长度

//the same as int* q[3] = { a[0],a[1],a[2] } ;

//数组指针

int (*p)[4];

//这个4代表你指向的是一个长度为4的数组

p = &a[0];//即{1,2,3,4}, 这一行

cout << “1.指针 + i” << endl;

//q+i\p+i

cout << “数组指针 ” << endl;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

string s = getHex((int)(p + i)) ;

cout << “第” << i << “个[4]数组的地址是” << s << endl;

}

cout << “指针数组(没啥用)，此为装指针的二重指针地址 ” << endl;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

string s = getHex((int)(q + i));

cout << “第” << i << “q元素的地址是” << s << endl;

}

cout << “2.*(指针 + i)” << endl;

//== *(指针 + i)+0

//*(q+i) \ *(p+i)

cout << “数组指针 ” << endl;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

string s = getHex((int)*(p + i));

cout << “a数组的第” << i << “行的第0个元素的地址是” << s << endl;

}

cout << “指针数组 ” << endl;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

string s = getHex((int)*(q + i));

cout << “a数组的第” << i << “行的第0个元素的地址是” << s << endl;

}

cout << “3.*(指针 + i)+j” << endl;

cout << “数组指针 ” << endl;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

string s = getHex((int)(*(p + i) + 1));

cout << “a数组的第” << i << “行的第1个元素的地址是” << s << endl;

}

cout << “指针数组 ” << endl;

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

string s = getHex((int)(*(q + i)+2));

cout << “a数组的第” << i << “行的第2个元素的地址是” << s << endl;

}

return 0;

}

AI：

这是 C 语言中数组与指针关系的前置知识，用于理解数组元素的指针访问方式，以下是逐行解释：
- int a[1024];：定义了一个长度为 1024 的整型数组a，数组在内存中是连续存储的。
- int *p = a;：定义了一个整型指针p，并将数组a的首地址赋值给p。因为数组名a本质上是数组首元素的地址（即&a[0]），所以p指向了数组a的第一个元素a[0]。
- a ≡ &(a[0])：数组名a等价于数组首元素a[0]的地址，这是 C 语言的语法规则。
- p ≡ &(a[0])：因为p被赋值为a（数组首地址），所以p也等价于a[0]的地址。
- p + 0 ≡ &(a[0])：指针p加 0，还是指向自身，所以等价于a[0]的地址。
- p + i ≡ &(a[i])：指针的算术运算规则，p是指向int类型的指针，p + i表示在p的基础上偏移i个int类型的大小，最终指向的是数组第i个元素a[i]的地址。
- *(p + i) ≡ *(&(a[i])) ≡ a[i]：
 - *(p + i)：对p + i（a[i]的地址）解引用，得到的是该地址存储的内容，即a[i]。
 - *(&(a[i]))：先取a[i]的地址（&(a[i])），再对该地址解引用，结果就是a[i]本身。
- *(p + i) ≡ p[i]：这是指针的下标访问语法糖，p[i]等价于*(p + i)，本质上是通过指针偏移和解引用操作来访问数组元素。
总结来说，这些规则揭示了数组和指针在访问元素时的等价性，理解它们能帮助你灵活运用指针操作数组，是 C 语言中数组与指针知识的核心基础。

这段代码通过具体的地址打印，直观展示了指针数组和数组指针的本质区别，尤其是两者在指针运算（+i）时的不同行为。我们逐部分解析：

一、前置知识：getHex函数

作用：将整数（这里实际是指针强制转换的结果）的低 16 位转换为大写十六进制字符串，方便以地址形式展示（简化地址显示，只看低 16 位差异）。

二、二维数组a的地址打印

首先定义了一个3行4列的二维数组a，然后通过嵌套循环遍历每个元素，打印每个元素的地址（转换为十六进制）。

例如，假设a在内存中连续存储（二维数组在内存中是 “按行连续” 的），输出的地址会呈现规律：
- 同一行内，元素地址依次递增（间隔sizeof(int)，通常 4 字节）；
- 行与行之间，地址间隔4*sizeof(int)（一行 4 个元素，共 16 字节）。
三、指针数组q与数组指针p的定义

1. 指针数组q

定义：int* q[3] = { &a[0][0], &a[1][0], &a[2][0] };
- 本质：q是一个数组，包含 3 个元素，每个元素都是int*指针（指向int类型）。
- 初始化：3 个指针分别指向二维数组a的第 0 行、第 1 行、第 2 行的首元素（&a[i][0]等价于a[i]，因为数组名a[i]即首元素地址）。
2. 数组指针p

定义：int (*p)[4];
- 本质：p是一个指针，专门指向 “包含 4 个int元素的数组”（即二维数组a中的一行）。
- 赋值：p = &a[0]; 表示p指向a的第 0 行（a[0]是一行 4 个元素的数组，&a[0]是整个行的地址）。
四、核心对比：p+i与q+i的区别

代码通过循环打印p+i和q+i的地址，直观展示两者的差异：

1. 数组指针p+i
- 含义：p指向 “4 个int的数组”，p+i表示指针向后移动i个 “行”（每个行是 4 个int）。
- 地址变化：每次移动的步长 = 4 * sizeof(int)（一行的总大小，通常 16 字节）。
- 输出结果：p+0指向第 0 行地址，p+1指向第 1 行地址，p+2指向第 2 行地址，与前面二维数组a每行首元素的地址完全一致（因为行地址即首元素地址）。
2. 指针数组q+i
- 含义：q是数组（元素为int*），q作为数组名表示首元素地址，q+i表示数组q中第i个元素的地址（即指针数组自身存储元素的位置）。
- 地址变化：每次移动的步长 = sizeof(int*)（一个指针的大小，64 位系统中是 8 字节）。
- 输出结果：打印的是指针数组q自身在内存中的元素地址（比如q+0是q[0]这个指针变量的地址，q+1是q[1]这个指针变量的地址），与二维数组a的地址无关（除非巧合），因此注释说 “没啥用”（因为这里想观察的是指向a的地址，而非q自身的元素地址）。
总结

这段代码的核心目的是通过地址打印，让我们看到：
- 数组指针p 是 “指向行的指针”，p+i会跳到第i行的地址（步长为一行大小），用于定位二维数组的行；
- 指针数组q 是 “存储行首指针的数组”，q+i是数组中第i个指针的地址（步长为指针大小），与二维数组的行地址无直接关联（除非访问q[i]才是行首指针）。
通过地址的十六进制变化，能更直观理解两者的本质差异：一个是 “指向数组的指针”，一个是 “存储指针的数组”。

AI2:

这张图是用来解释二维数组的地址与元素值的对应关系，核心是展示二维数组在内存中的连续存储特性，以下是分部分解释：

1. 二维数组的 “值”（a[i][j]）

上方的表格是二维数组中每个元素的具体数值，比如：
- 第 0 行（i=0）的元素是 a[0][0]=1、a[0][1]=2、a[0][2]=3、a[0][3]=4；
- 第 1 行（i=1）的元素是 a[1][0]=5、a[1][1]=4、a[1][2]=6、a[1][3]=7；
- 第 2 行（i=2）的元素是 a[2][0]=9、a[2][1]=10、a[2][2]=11、a[2][3]=12。
2. 二维数组的 “地址”（&a[i][j]）

下方的表格是对应元素在内存中的地址（以十六进制表示，比如F18、F1C等），需要注意以下几点：
- 内存连续性：二维数组在内存中是按行连续存储的。比如第 0 行最后一个元素a[0][3]的地址是F24，第 1 行第一个元素a[1][0]的地址是F28，两者相差4个字节（因为int类型占 4 字节），这体现了 “第一行的最后一个元素的地址偏移了 4 个字节” 的说明。000
- 地址与元素的对应：每个地址&a[i][j]唯一对应一个元素a[i][j]，比如地址F18对应值1（即a[0][0]），地址F2C对应值4（即a[1][1]）。
3. 补充说明（底部文字）

“a[i][j]的地址（也就是&a[i][j]）并没有存储在二维数组里面，PPT 这么连续的画是为了清楚的和二维数组中的值，进行一一对应而已” 这句话是强调：内存中只存储数组的元素值，“地址表格” 是为了辅助理解而抽象出来的对应关系，实际内存里不会额外存储这些地址的表格，地址是通过数组的存储规则（连续、按类型偏移）计算得到的。

总结来说，这张图通过 “值” 和 “地址” 的对照，直观展示了二维数组按行连续存储的内存特性，以及元素值和其地址的一一对应关系，帮助理解二维数组的指针访问和内存布局。

AI3:

这是关于指针数组的知识讲解图，核心信息如下：

1. 指针数组的定义

int *p[3]; 表示定义了一个指针数组p，它包含 3 个元素，每个元素都是一个指向int类型的指针。

2. 指针数组与二维数组的关联

指针数组p的每个元素p[i]存储了二维数组a对应行的首地址：
- p[0]的值为F18，指向二维数组a第 0 行的首元素a[0][0]（值为 1）；
- p[1]的值为F28，指向二维数组a第 1 行的首元素a[1][0]（值为 5）；
- p[2]的值为F38，指向二维数组a第 2 行的首元素a[2][0]（值为 9）。
3. 二维数组的内存呼应

右侧的 “二维数组a的值” 和 “二维数组a的地址” 表格，与之前讲解的二维数组内存布局一致，体现了元素值a[i][j]和其地址&a[i][j]的一一对应关系，同时也说明指针数组p是通过存储每行首地址来间接访问二维数组元素的。

这种结构常用于灵活管理多个一维数组（或二维数组的行），相比直接操作二维数组，指针数组在某些场景（如行的重新排序、动态分配行内存等）下更具灵活性。

AI4:

存储地址的地址，指针的指针

从十六进制地址A38到A40，核心是偏移 8 个字节，需结合内存编址规则和数据存储特性解读：

1. 先明确地址差值：8 个字节
- 十六进制计算：A40（十六进制） – A38（十六进制） = 8（十六进制），而十六进制的8对应十进制的8，因此地址跨度为 8 个字节（内存以字节为最小编址单位，1 个十六进制单位对应 1 个字节）。
- 直观验证：从A38开始，逐字节递增依次是A39、A3A、A3B、A3C、A3D、A3E、A3F、A40，共 8 个字节间隔。
2. 与 “数据类型存储” 的关联（结合此前场景）

结合之前讨论的 “4 字节偏移（对应 32 位数据）”，A38到A40的 8 字节偏移，通常对应以下场景：
- 双精度数据类型：若存储double（双精度浮点数，占 8 字节），从A38开始存储 1 个double数据，其结束地址就是A40（A38为起始地址，占用A38~A3F共 8 字节，下一个数据的起始地址为A40）。
- 多个 32 位数据的连续存储：若存储 2 个int（32 位整数，每个占 4 字节），第一个int从A38开始（占A38~A3B），第二个int从A3C开始（占A3C~A3F），两个数据存储完成后，下一个数据的起始地址就是A40，整体体现为从A38到A40的 8 字节跨度。
- 指针数组的元素间隔：若A38是指针数组p中某元素（如p[0]）的地址（指针占 8 字节，64 位系统），则下一个元素p[1]的地址就是A40，正好对应A38到A40的 8 字节偏移（64 位系统中指针占 8 字节，元素间偏移 8 字节）。
3. 内存对齐的体现

若系统遵循 “8 字节对齐”（如 64 位环境下部分数据类型要求），A38到A40的跨度也符合对齐规则：
- 例如long long（64 位整数，占 8 字节）需 8 字节对齐，其起始地址必须是 8 的倍数（A38是 8 的倍数：A38转十进制为 2616，2616÷8=327，无余数），存储后下一个对齐地址就是A40（A40转十进制为 2624，2624÷8=328，同样是 8 的倍数），符合对齐要求。
综上，A38到A40的核心是 8 字节地址跨度，其本质是由数据类型的存储大小（如 8 字节double、2 个 4 字节int）或内存对齐规则决定的，是计算机内存连续存储逻辑的典型体现。

这是关于指针数组的知识图解，核心信息如下：

1. 指针数组的定义与存储
- 定义：int *p[3]; 表示一个指针数组p，包含 3 个指向int类型的指针元素。
- 指针数组的值（p[i]）：存储二维数组a各行的首地址，如p[0]=F18（指向a[0][0]）、p[1]=F28（指向a[1][0]）、p[2]=F38（指向a[2][0]）。
- 指针数组的地址（&p[i]）：指针数组本身也存储在内存中，其元素的地址为A38、A40、A48，体现了指针数组自身的内存布局。
2. 与二维数组的关联

右侧的二维数组a的 “值（a[i][j]）” 和 “地址（&a[i][j]）” 表格，与指针数组p的元素形成映射：指针数组通过存储行首地址，间接实现对二维数组元素的访问。这种结构常用于灵活管理多维数组的行，在行的动态分配、排序等场景中具有优势。

3. 内存特性说明

指针数组的 “值” 存储的是目标数组的地址，而其自身的 “地址” 是指针数组元素在内存中的存储位置，清晰区分了 “指针存储的地址” 和 “指针本身的地址” 这两个易混淆的概念，帮助理解指针数组的双层内存结构。

sprintf_s(buff, “%X”, (x & 0xFFFF));

这段代码的作用是将变量 x 的低 16 位数据以大写十六进制形式格式化到缓冲区 buff 中，具体解析如下：
- 核心操作：提取低 16 位
 (x & 0xFFFF) 是一个位运算：
 - 0xFFFF 是十六进制常量，对应二进制的 16 个连续的 1（即 0b1111111111111111）。
 - 与 x 进行 “按位与” 运算后，会保留 x 的低 16 位数据，并将高于 16 位的部分清零（即只保留 x 中范围为 0~0xFFFF 的值）。
- 格式化写入缓冲区
 sprintf_s(buff, “%X”, …) 是安全的字符串格式化函数：
 - %X 是格式控制符，表示以大写十六进制形式输出整数（例如 10 会被转换为 “A”，255 会被转换为 “FF”）。
 - sprintf_s 相比 sprintf 增加了安全性检查（需要指定缓冲区大小，通常用法为 sprintf_s(buff, sizeof(buff), “%X”, …)），可避免缓冲区溢出风险。
总结：这段代码的功能是将 x 的低 16 位数值转换为大写十六进制字符串，并存储到 buff 缓冲区中，同时通过 sprintf_s 保证操作的安全性。

AI5：

指针数组和数组指针是 C/C++ 中容易混淆的两个概念，核心区别在于：指针数组是 “数组”（元素为指针），数组指针是 “指针”（指向数组）。下面通过定义、本质、示例详细说明：

一、指针数组（Array of Pointers）

本质：一个数组，数组中的每个元素都是指针（同类型指针）。

声明形式：类型 *数组名[数组长度]（注意：[]优先级高于*，所以先构成数组，元素为指针）。

示例：

c

运行

int a = 1, b = 2, c = 3;

int *ptr_arr[3]; // 指针数组：数组有3个元素，每个元素是int*指针

// 给数组元素（指针）赋值

ptr_arr[0] = &a;

ptr_arr[1] = &b;

ptr_arr[2] = &c;

// 访问：先通过数组下标取指针，再解引用取数据

printf(“%d, %d, %d”, *ptr_arr[0], *ptr_arr[1], *ptr_arr[2]); // 输出：1, 2, 3

特点：
- 数组的大小 = 元素个数 × 单个指针的大小（如 32 位系统指针占 4 字节，64 位占 8 字节）。
- 用途：常用于存储多个同类型数据的地址（最典型的是字符串数组，因为字符串本质是 char*）。
 例如：c
 
 运行
 
 char *strs[3] = {“hello”, “world”, “cpp”}; // 每个元素是char*指针，指向字符串常量
二、数组指针（Pointer to Array）

本质：一个指针，该指针专门指向一个固定大小的数组（数组的元素类型和长度固定）。

声明形式：类型 (*指针名)[数组长度]（注意：()强制*先与指针名结合，所以是指针，指向数组）。

示例：

c

运行

int arr[3] = {10, 20, 30};

int (*arr_ptr)[3]; // 数组指针：指针指向“包含3个int元素的数组”

arr_ptr = &arr; // 赋值：指向数组arr的地址（数组名arr是首元素地址，&arr才是整个数组的地址）

// 访问：先解引用指针得到数组，再通过下标取元素

printf(“%d, %d, %d”, (*arr_ptr)[0], (*arr_ptr)[1], (*arr_ptr)[2]); // 输出：10, 20, 30

特点：
- 指针的大小 = 系统指针的大小（与指向的数组大小无关，32 位 4 字节，64 位 8 字节）。
- 指针的 “步长” = 指向的数组总大小（例如int (*p)[3]，p+1会跳过3×sizeof(int)字节）。
- 用途：常用于处理多维数组（尤其是作为函数参数传递多维数组时，明确数组第二维的长度）。
 例如：c
 
 运行
 
 int matrix[2][3] = {{1,2,3}, {4,5,6}};
- int (*p)[3] = matrix; // p指向matrix的第0行（每行是含3个int的数组）
- printf(“%d”, p[1][2]); // 等价于(*(p+1))[2]，输出6（第1行第2列）
三、核心区别对比

类型本质 声明示例 关键特征
指针数组数组（元素为指针） int *arr[3]; arr是数组，arr[i]是指针
数组指针指针（指向数组） int (*p)[3]; p是指针，*p是数组

记忆技巧
- 看声明中*和[]的结合顺序：
 - 无括号时，[]优先结合，所以类型 *名[]是指针数组（先成数组，元素为指针）。
 - 有括号时，*优先结合，所以类型 (*名)[]是数组指针（先成指针，指向数组）。
好问题！😊

“指针数组”和“数组指针”名字很像，但意思完全不一样。

我们可以先从直觉上去理解，然后再看看它们的定义。

⸻

一、指针数组（array of pointers）

定义：

一个“指针数组”就是数组的每个元素都是一个指针。

🔹语法例子：

int *p[3];

这里：

• p 是一个数组；

• 这个数组里有 3 个元素；

• 每个元素都是 int * 类型的指针。

🧠 你可以想象它是：

p[0]、p[1]、p[2] → 都是指针，分别可以指向不同的 int 变量。

比如：

int a = 1, b = 2, c = 3;

int *p[3] = {&a, &b, &c};

那么：

• *p[0] == 1

• *p[1] == 2

• *p[2] == 3

⸻

二、数组指针（pointer to an array）

定义：

一个“数组指针”就是指向整个数组的指针。

🔹语法例子：

int (*p)[3];

这里：

• p 是一个指针；

• 它指向一个“包含 3 个 int 元素的数组”。

比如：

int a[3] = {1, 2, 3};

int (*p)[3] = &a;

那么：

• (*p)[0] == 1

• (*p)[1] == 2

• (*p)[2] == 3

🧩 小技巧记忆：

• “指针数组” → 数组大，里面装指针。

• “数组指针” → 指针大，它指向数组。

⸻

要不要我帮你画个内存图，用图来区分它们？这样更容易看出谁指向谁。

没关系～这是 C 语言里非常容易混淆的一对概念，我们慢慢来。

我用比喻 + 视觉化的方式帮你彻底分清。

⸻

💡先想象两个世界

名称直观比喻语法例子

指针数组一个“装指针的盒子” int *p[3];

数组指针一根“指向整个数组的指针” int (*p)[3];

⸻

🧱 1. 指针数组 int *p[3];

“p 是一个数组，数组中有 3 个指针，每个指针都能指向一个 int。”

图示：

p[0] —> &a

p[1] —> &b

p[2] —> &c

代码例子：

int a = 10, b = 20, c = 30;

int *p[3] = { &a, &b, &c };

printf(“%d\n”, *p[1]); // 输出 20

🧠 小记忆：

👉 方括号 [] 优先级高，所以 p[3] 是数组，*p[3] 说明数组里是指针。

⸻

🧭 2. 数组指针 int (*p)[3];

“p 是一个指针，指向一个含有 3 个 int 的数组。”

图示：

a —> [ 1 | 2 | 3 ]

p —> a

代码例子：

int a[3] = {1, 2, 3};

int (*p)[3] = &a;

printf(“%d\n”, (*p)[1]); // 输出 2

🧠 小记忆：

👉 () 的优先级强制让 *p 先结合，所以 (*p)[3] 表示 p 指向一个数组。

⸻

🌈一句话区分法：

名称口诀

指针数组 “数组里装指针”

数组指针 “指针指向数组”

⸻

想试试我出两道小题，让你判断哪个是“指针数组”，哪个是“数组指针”吗？

我们边做边练就能完全掌握。

非常好！👏完全正确。

✅ int *p[5];

意思是：“p 是一个包含 5 个元素的数组，每个元素都是 int * 类型的指针。”

你记住口诀 “数组里装指针” 就对啦。

⸻

我们来升一点难度👇

第 2 题：

int (*p)[5];

请你想一想：这回 p 是指针数组还是数组指针？

非常好！👏完全正确。

✅ int *p[5];

意思是：“p 是一个包含 5 个元素的数组，每个元素都是 int * 类型的指针。”

你记住口诀 “数组里装指针” 就对啦。

⸻

我们来升一点难度👇

第 2 题：

int (*p)[5];

请你想一想：这回 p 是指针数组还是数组指针？

完美！👍

你不仅答对了，而且解释也非常到位。

✅ int (*p)[5];

意思是：p 是一个指针，它指向一个包含 5 个 int 元素的数组。

举个小例子帮助你巩固：

int a[5] = {1, 2, 3, 4, 5};

int (*p)[5] = &a;

printf(“%d\n”, (*p)[2]); // 输出 3

⸻

来，我们再来一道稍微绕一点的题，看看你能不能一眼判断出来👇

第 3 题：

char *strs[3];

这次呢？是“指针数组”还是“数组指针”？

（提示：想想 char * 是什么，再看 []。）

这次有点小小偏啦～😉

其实这一题的答案是：

✅ 指针数组。

⸻

我们来拆开看看为什么：

char *strs[3];

• 方括号 [] 优先级比 * 高。

• 所以它先说明 strs 是一个数组；

• 然后数组里的每个元素类型是 char *，也就是“字符指针”。

🧠 这表示：

strs 是一个“装有 3 个字符串指针”的数组。

比如：

char *strs[3] = {“Hello”, “World”, “C”};

printf(“%s\n”, strs[1]); // 输出 “World”

⸻

你想继续练 2~3 道稍微进阶一点的例子吗？

我可以加上一些你在字符串或二维数组场景中会真用到的那种。
2025年10月26日
#C++ Day15 October 25 2025
//9 – 4 null pointer and wild pointer

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

//1.null pointer(空指针)

//normally,if we don’t use the pointer, we will define it null

int* p = NULL;

//but it we dereference it, it will be a null pointer error

//cout << *p << endl;

//2.wild pointer(野指针)

int* pa = (int*)0x121412;

//force translate the RAM address to int * type pointer and assigned it

//wild pointer:define a ramdon number to the pointer casually

cout << *pa << endl;

//if the code cost a lot time, it probably an error exists

return 0;

}

//9-5-1 pointer constant(指针常量)

#include <iostream>

using namespace std;

/*

the relationship between constant and pointer:

*/

int main() {

int a = 1;

int b = 2;

//pointer constant

//the value of the pointer is a constant, the value is an address now

int* const p = &a;

//p = &b; //it don’t allow to change it

*p = 7;//but the value that pointer pointed to(dereference) can be modified

cout << “a = ” << a << endl;

return 0;

}

//9 – 5 – 3 const pointer to a const

#include <iostream>

using namespace std;

/*

指针常量 type* const 指针值是一个常量指针无法被赋值

常量指针 const type* 指向常量的指针指针解引用后无法被赋值

常量指针常量 const type* const 指针值和指针指向的值都是常量指针和解引用都无法被赋值

*/

int main() {

int a = 1;

int b = 2;

//常量指针常量：本身的值和指向的地址中的值都无法改变

const int* const p = &a;

//*p = 6; //error

//p = &b;//error

return 0;

}

AI：

指针常量（pointer constant）和常量指针（pointer to a constant）是 C/C++ 中容易混淆的两个概念，核心区别在于 **“不可变” 的对象不同 **：

1. 指针常量（pointer constant）
- 定义：指针本身是一个常量，指针存储的地址不能被修改，但指针指向的内容可以修改。
- 语法形式：类型* const 指针名;
 例：int* const p;（p 是指针常量）
- 特性：
 - 指针一旦初始化（指向某个地址），就不能再指向其他地址（p = &a; 初始化后，p = &b; 会报错）。
 - 可以通过指针修改指向的内容（*p = 10; 合法）。
2. 常量指针（pointer to a constant）
- 定义：指针指向的是一个常量，通过该指针不能修改指向的内容，但指针本身可以指向其他地址。
- 语法形式：const 类型* 指针名; 或类型 const* 指针名;（两种写法等价）
 例：const int* p; 或 int const* p;（p 是常量指针）
- 特性：
 - 指针可以随时改变指向（p = &a; 之后，p = &b; 合法）。
 - 不能通过指针修改指向的内容（*p = 10; 会报错）。
一句话总结
- 指针常量：指针不可变，内容可变（int* const p;）。
- 常量指针：内容不可变，指针可变（const int* p;）。
记忆技巧：看 const 修饰的是谁 —— 修饰指针（* 后）则是指针常量，修饰类型（* 前）则是常量指针。
2025年10月25日
#C++ Day14 October 24 2025

//9 – 1 pointer and address

#include <iostream>

using namespace std;

/*

hex

hexadecimal 十六进制

____________________________________________

0X7694F6A4|0X7694F6A5|0X7694F6A6|…|…| RAM address(内存地址)

10 5 pa variable value（变量值）

a b variable name（变量名）

_____________________________________________

char a = 10;

char b = 5;

a=11;

b=9;

//A memory address is required to store a bariable, and the address where the variable is stored is called a pointer

*/

int main() {

char a = 10;

//cout << (&a) << endl;

printf(“%#X”, &a); //0X7694F6A4

//c++ is compatible with C

//&a taking the address of variable a

//%X specifies that the integer should be output in upper case hexadecimal form

//# modifier makes the output hexadecimal number with the 0x prefix

return 0;

}

//9 – 2 the definiton and the use of pointer

#include <iostream>

using namespace std;

/*

____________________________________________

0X00000004 | 0X00000008 | …… | … | RAM address(内存地址)

10 5 pa variable value（变量值）

a b variable name（变量名）

_____________________________________________

*/

//If a variable stores a pointer to a piece of data, we call this variable a pointer variable

int main() {

int a = 10;

int b = 20;

//1.the definition of pointer variable

// data type * pointer variable name

//数据类型 * 指针变量名;

int* pa; // pointer a, there must be a * int when defining

pa = &a;

//pa = &b; //pointer can be sent values multiple

printf(“%#X %#X\n”,&a,pa); //the same addresses

cout << “—————–” << endl;

//2.dereference (解引用)

//to take the value of the address, and to modify

//*指针变量名 = 数值;

*pa = 7;

cout << a << ‘ ‘ << (*pa) << endl;

cout << “—————–” << endl;

//3.the relation between * and &

// *&a == *(&a) == *pa == a

//&*pa == &(*pa) == &a == pa

//they are essentially inverse operation of each other (实际上是个互逆的关系)

//likewise + –

//right combine : first calculate the right quote

cout << (*&a) << endl;

cout << (*(&a)) << endl;

cout << (*pa) << endl;

cout << (a) << endl;

cout << “—————–” << endl;

cout << (&*pa) << endl;

cout << (&(*pa)) << endl;

cout << (&a) << endl;

cout << (pa) << endl;

return 0;

}

//9 – 3 RAM memory of pointer

#include <iostream>

using namespace std;

//the pointer is a memory space itself, which can occupied the RAM space

int main() {

//sizeof(char);//1

//sizeof(int);//4

//sizeof(int *);//8

cout << sizeof(int*) << endl;

cout << sizeof(short*) << endl;

cout << sizeof(char*) << endl;

cout << sizeof(long*) << endl;

cout << sizeof(long long*) << endl;

cout << sizeof(float*) << endl;

cout << sizeof(double*) << endl;

//the pointer’s size only relative to the OS’s type(32bits,64bits)

//all the pointer type occupied the same size in an OS (32bits 4bytes,64bits 8bytes)

return 0;

}

2025年10月24日
#C++ Day13 October 23 2025

//8 – 1 function

#include <iostream>

using namespace std;

/*

1.the type of return value:int,float,double,char,string ……

2.function name

3.parameter’s list:this function’s parameters that I need to deliver

4.return the expression(表达式)

返回值类型函数名(参数列表)

{

函数体（各种要写的编程语句）

return 表达式

}

type function name(parameter list)

{

body of function;

}

*/

int add(int a,int b)

{

int c = a + b;

return c;

}

double add2(int a, int b)

{

int c = a + b; //conversion from ‘double’ to ‘int’, possible loss of data

return c;

}

double add3(int a, int b)

{

int c = a + b; //conversion from ‘double’ to ‘int’, possible loss of data

return c;//this step would not be an error,but there is an unvisable translation

//return (double)c; small to big will not make a problem

}

int add4(int a, int b)

{

return a+b;

}

void printAaddB(int a, int b) //func type is null/void(空)

{

int c = a + b ;

cout << c << endl;

return ; //Don’t need to return a value because it’s function type is null/void

}

int max(int a, int b)

{

if (a > b) {

return a;

}

return b;

//to get the maximum value

//or we can use ternary operator

// return a > b ? a : b;

}

int max2(int a, int b)

{

//or we can use ternary operator

return a > b ? a : b;

}

int main(){

//int ret = add2(1, 7);//conversion from ‘double’ to ‘int’, possible loss of data

double ret = add3(1, 7);//this step would not be an error,but there is an unvisable translation

cout << ret << endl;

return 0;

//int is the main function’s return date type

//0 is the main function’s return value

//main is the function’s name

//()is the function’s parameter

}

//8 – 2 function call

#include <iostream>

using namespace std;

/*

function’s calling have the use of encapsulation(封装)

//黑盒(Blach box):we don’t need to know how to get it

*/

int add(int a, int b) {

return a + b;

//return a – (-b);

}

int max(int a, int b) {

return a > b ? a : b;

}

int sum(int n) {

int ret = 0;

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

ret += i;

}

//O(n)

return ret;

//枚举算法

//this method is much more calling than the sum2’s method

}

int sum2(int n) {

return (1+n) * n /2;

//O(1)

}

int main() {

//1.the addition’s call(加法的调用)

int a = add(1, 7);

int b = add(a,9);

int c = add(add(1, 7), 9);

//After made the function, I just need to use, instead of knew the details

cout <> n;

int e = sum2(n);

cout << e << endl;

return 0;

}

//8 – 3 function value transfer

#include <iostream>

using namespace std;

/*

| a | b | | a | | b | |tmp | | a | | b |

| 6 | 9 | | 6 | | 9 | | 6 | | 9 | | 6 |

4 bytes 4 bytes 4 bytes 4 bytes

*/

//function value transfer:transfer some parameters into the function inside, and use it within the function inside

void swap(int a, int b) {

cout << “a = ” << a << endl;

cout << “b = ” << b << endl;

cout << “————-“<< endl;

int tmp = a;

a = b;

b = tmp;

cout << “a = ” << a << endl;

cout << “b = ” << b << endl;

cout << “————-” << endl;

}

int main() {

int a = 6;

int b = 9;

swap(a,b);

//the key point of function value transfer:the value we transfered will only be copied, the origin value is the same address

//the value will be destroied when the function is finished execution

//If you want to swap the original value, you can use the pointer

cout << “a = ” << a << endl;

cout << “b = ” <

using namespace std;

//int add(int a, int b);//this is a function declaration

int add(int, int);//we can only write the data type when declarating

void func2(int);//declarating in advance is to prevent error

void func1(int x) {

if (x <= 0) {

return;

}

cout << “func1:” << x << endl;

func2(x-1);

}

void func2(int x) {

cout << “func2:” << x << endl;

func1(x-1);

}

int main() {

int x, y;

cin >> x >> y;

int z = add(x, y);

cout << z << endl;

cout << “———” << endl;

func1(-1);

return 0;

}

int add(int a, int b) {

return a + b;

}

//Place the function in this position, we won’t be able to run the code normally,if we didn’t declarate the function at first

2025年10月23日
#C++ Day12 October 22 2025

//7 – 1 One – dimensional Array

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

//1.the definition of array

//数据类型数组名[数字 / 常量表达式];

int a[1024] = {1,2,3,45};

double b[520];

char c[1314];

//double a[1024]; //this is an error, we should not define two times the same name’s array

//All the elements have the same date type in an array

//the array’s lower number(下标) is start from 0 (a[0] a[1] a[2])

/*

int n = 1000;

int d[n];//error

//there must be a constant value in the array’s lower symbol

*/

int x1[10], x2[20], x3, x4, x5,x6[100]; // the array can be listed in a single line

//2.the access to the elements

//数组名 [下标]

//array’s name [index]

a[0], a[1023];

for (int i = 0; i < 4; ++i)

{

cout << a[i] << endl;

//only access the initialized values

}

//3.Reverse output

//please type in the n(n<100), and n numerical numbers, please reverse output these n numerical numbers

//输入一个n(n<100),和n个数，请逆序输出这n个数

int n;

int x[100];

cin >> n;

for (int i = 0; i < n; ++i) {

cin >> x[i];

}

for (int i = n – 1; i >= 0; –i) {

cout << x[i] << ‘ ‘;

}

cout << endl;

return 0;

}

//7 – 2 Two – dimensional Array

#include <iostream>

using namespace std;

//one dimensional array is a sequential list

//two dimensional array is like an excel table, which has rows and columns

int main() {

//two dimensional array can be related to matrices in linear algebra

//1.the definition of two dimensional arrays

//data type array name [rows] [columns] ;

//数据类型数组名 [行] [列]

int arr[3][4];

for (int i = 0; i < 3; ++i) {

for (int j = 0; j < 3; ++j) {

arr[i][j] = i * j;

}

}

int b[4][4]{

{1,2},

{2,3},

{6,7,8},

{9,1}

};

for (int i = 0; i < 4; ++i) {

for (int j = 0; j < 4; ++j) {

cout << b[i][j] << ‘ ‘;

}

cout << endl;

}

cout << b << ‘ ‘; //the array name represents the starting address

return 0;

}

2025年10月22日
#C++ Day11 October 21 2025
//6 – 2 – 1 while

#include <iostream>

#include <string>

using namespace std;

int main() {

/*int count = 0;

while (count < 1000) {

cout << “I love you!” << endl;

count += 1;

}*/

/*while (1) {

cout << “I love you!” << endl;

count += 1;

//dead repeat

}*/

//string a;

//while (cin >> a) {

// cout << a+ ” I love you!” << endl;

//}

int a,b;

while (cin >> a >> b) {

cout << a+ b << endl;

}

return 0;

}

//6 – 2 – 2 do-while

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

/*

do {

} while (condition);

*/

//if the condition is true, keep on execution

/*int a = 0;

do {

cout << a << endl;

a += 1;

} while (a < 3);

a = 0;

while (a < 3) {

cout << a << endl;

a += 1;

}*/

int a = 3;

do {

cout << a << ” haha” << endl;

a += 1;

} while (a < 3);

//do-while will first execute the do case at least once,then continue to judge the while’s conditon

cout << “—–” << endl;

a = 3;

//The while will judge the condition at first, if the condition is false, the sentence won’t be executed

while (a < 3) {

cout << a << ” gg” << endl;

a += 1;

}

return 0;

}

AI：

等差数列求和公式详解

要理解等差数列的求和公式，首先需要明确等差数列的基本定义，再通过推导过程掌握公式的本质，最终学会根据已知条件选择合适的公式计算。

一、等差数列的基本概念

在等差数列中，有几个核心量需要先明确，后续公式均围绕这些量展开：
- 首项：数列的第一个数，记为 ( a_1 )（例如数列 ( 2,5,8,11\cdots ) 中，( a_1=2 )）；
- 公差：相邻两项的差值（后项减前项），记为 ( d )（上述数列中，( d=5-2=3 )，且所有相邻项差值恒定）；
- 项数：数列中元素的个数，记为 ( n )（例如求“前5项和”时，( n=5 )）；
- 末项：数列的第 ( n ) 项，记为 ( a_n )（可由首项和公差推导：( a_n = a_1 + (n-1)d )，上述数列第5项为 ( a_5=2+(5-1)\times3=14 )）；
- 前( n )项和：数列前 ( n ) 个元素的总和，记为 ( S_n )（本文核心求算目标）。
二、等差数列的两个核心求和公式

等差数列求和公式有两种形式，分别适用于“已知末项”和“未知末项”的场景，本质是相通的（可相互推导）。

公式1：已知首项、末项和项数（最直观的形式）

公式表达式：

[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} ]

推导过程（倒序相加法，高斯求和的本质）：

以“求 ( 1+2+3+\cdots+100 ) 的和”为例，高斯的思路可推广到所有等差数列：
1. 写出前 ( n ) 项和的正序：( S_n = a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + \cdots + a_n )；
2. 写出前 ( n ) 项和的倒序：( S_n = a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \cdots + a_1 )；
3. 将正序和倒序对应项相加，每一组的和均为 ( a_1 + a_n )（例如正序第1项+倒序第1项：( a_1+a_n )；正序第2项+倒序第2项：( (a_1+d)+(a_n-d)=a_1+a_n )，以此类推）；
4. 总共有 ( n ) 组这样的和，因此：( 2S_n = n(a_1 + a_n) )，两边除以2即得公式1。
适用场景：

已知 ( a_1 )（首项）、( a_n )（末项）、( n )（项数），直接代入计算。

示例：求等差数列 ( 3,7,11,15 ) 的前4项和。

已知 ( a_1=3 )，( a_4=15 )，( n=4 )，代入公式：

( S_4 = \frac{4\times(3+15)}{2} = 4\times9 = 36 )（验证：( 3+7+11+15=36 )，结果正确）。

公式2：已知首项、公差和项数（无需先求末项）

公式表达式：

[ S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2} \quad \text{或} \quad S_n = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2} ]

推导过程（由公式1转化而来）：

因为等差数列的末项 ( a_n = a_1 + (n-1)d )，将其代入公式1：

[ S_n = \frac{n\left[a_1 + a_1 + (n-1)d\right]}{2} = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2} ]

展开后即可得到 ( S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2} )（两种形式等价，前者更便于分步计算）。

适用场景：

已知 ( a_1 )（首项）、( d )（公差）、( n )（项数），无需先求末项，直接代入计算。

示例：求等差数列 ( 2,5,8,11\cdots ) 的前6项和。

已知 ( a_1=2 )，( d=3 )，( n=6 )，代入公式：

( S_6 = 6\times2 + \frac{6\times(6-1)\times3}{2} = 12 + \frac{6\times5\times3}{2} = 12 + 45 = 57 )（验证：( 2+5+8+11+14+17=57 )，结果正确）。

三、公式选择与注意事项
1. 公式选择原则：
 1. 若已知“末项 ( a_n )”，优先用公式1（计算更简洁）；
 2. 若未知“末项 ( a_n )”，但已知“公差 ( d )”，用公式2（避免额外计算末项）。
2. 关键易错点：
 1. 项数 ( n ) 的确定：例如“求数列 ( 4,7,10\cdots,31 ) 的项数”，需用 ( a_n = a_1 + (n-1)d ) 反推：( 31 = 4 + (n-1)\times3 )，解得 ( n=10 )（注意：不是 ( (31-4)\div3=9 )，需加1）；
 2. 公差 ( d ) 的符号：若数列为递减数列（如 ( 10,7,4,1\cdots )），公差 ( d=-3 )，代入公式时需保留负号，避免符号错误。
四、总结

等差数列求和的核心是“利用数列的对称性（倒序相加）”或“用首项、公差表示所有项”，两个公式的关系可总结为：

[ \boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \xleftrightarrow{\text{代入 } a_n = a_1 + (n-1)d} S_n = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2}} ]

记忆时无需死记硬背，理解推导逻辑后，可根据已知条件灵活选择公式。

//6 – 2 – 3 for

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

//a is initial condition

//b is the stop step condition

//c is the sentence that will be executed when each time we finished the {} sentence’s execution

/*for (a;b ; c)

{

}*/

/*int sum = 0;

for (int i =1; i <= 5; ++i)

{

sum += i;

}

cout << sum << endl;*/

/*int n;

//method 1

while (cin >> n) {

int sum = 0;

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

sum += i;

}

cout << sum << endl;

}*/

/*int n;

//method 2

while (cin >> n) {

int sum = 0;

int i = 1;

for (; i <= n; ++i) {

sum += i;

}

cout << sum << endl;

}*/

/*

int n;

//method 3

while (cin >> n) {

int sum;

int i;

for (sum = 0, i = 1; i <= n; ++i) {

sum += i;

}

cout << sum << endl;

}

*/

/*

int n;

//4.dead repeat

while (cin >> n) {

int sum;

int i;

for (sum = 0, i = 1;; ++i) {

sum += i;

}

cout << sum << endl;

}

*/

int n;

//4.dead repeat

while (cin >> n) {

int sum;

int i;

for (sum = 0, i = 1;i<=n; ) {

sum += i;

++i;

}

cout << sum << endl;

}

//while repeat doesn’t have the initial step

return 0;

}

//6-3-1 break

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

//1. the break in while;

int cnt = 0;

while (1) {

cnt++;

cout << “current number is ” << cnt << endl;

if (cnt > 20) {

break;

//break is jump out this repeat

}

}

cout << “——-” << endl;

//2. the break in for;

cnt = 20;

for (int i = 1; ;++i) {

cout << “current number is ” < cnt) {

break;

//break is jump out this repeat

}

//if this if sentence wrote in the for condition 2’s place, the code will be more complicative

}

cout << “——-” << endl;

//3. the break in switch case;

int a = 1;

switch (a) {

case 1:

cout << “Vito” << endl;

break; //if we aren’t all this break,the least included default will be outputed until met the break again

case 2:

cout << “Algorithm” << endl;

default:

cout << “Algorithm2” << endl;

}

return 0;

}

//6 – 3 – 2 continue

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

/*

for (int i = 0; i < 10; ++i)

{

if (i < 3) {

continue;

}

cout << i << endl;

}

*/

/*

for (int i = 0; i < 10; )

{

if (i < 3) {

continue;

//after the continue, the program will judege the for’s condition 2

}

cout <> a){

if (a == 0) {

continue;

//continue is end up this time’s repetition

}

cout << a << endl;

}

return 0;

}
2025年10月21日

#C++ Day10 October 16 2025

Daily Sign in

October 20 2025

//6-1-1 if

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

/*if (express rule)

rule1

int a = 43545435341;

if (a % 2 == 1){

cout << “a is an odd number” << endl;

}

int b;

cin >> b;

//==1 can be ignore, because if can recognize the 0(False) or the other numbers(True)

if (b % 2 ) {

cout << “b is an odd number” << endl;

}

if (b % 2)

cout << “b is an odd number” << endl;// if there is no {} symbol to select, there won’t execute the next line in this if express

b = 3;// this one won’t be executed like the upper lineWW

cout << “b is ” << b << endl;

return 0;

}

//6-1-2 if else

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

if (exp1){

rule1

}

else{

rule2

}

int x;

cin >> x;

string y = “add brick”;

if (x & 1) {

cout << “x is an odd number” << endl;

y = y + ” JAVA”;

}

else {

cout << “x is an even number” << endl;

}

cout << y << endl;

return 0;

}

AI：

这个问题抓得很准，位与判断奇数的核心就藏在二进制的最末位里！

位与（&）能判断奇数，本质是利用了二进制数的末尾特征和位与运算的规则。当一个数和数字 1 进行位与时，结果直接反映了这个数的奇偶性。

1. 关键前提：二进制的 “奇偶密码”

所有整数的二进制表示中，最后一位（最低位）直接决定了它是奇数还是偶数：

奇数：二进制末尾一定是 1。比如 3（11）、5（101）、7（111）。
偶数：二进制末尾一定是 0。比如 2（10）、4（100）、6（110）。

这是因为二进制中，末尾位的权重是 \(2^0=1\)，其他位的权重都是 2 的倍数（如 \(2^1=2\)、\(2^2=4\)）。一个数的奇偶，本质就是看它是否包含 “1” 这个最小的奇数分量。

2. 核心规则：位与（&）的运算逻辑

位与运算的规则很简单：两个二进制位必须同时为 1，结果才是 1；否则结果为 0。

当我们用任意整数 n 和数字 1 进行位与时（即 n & 1），实际只关注 n 的二进制最后一位：

若 n 是奇数（末尾为 1）：1 & 1 = 1，最终结果为 1。
若 n 是偶数（末尾为 0）：0 & 1 = 0，最终结果为 0。

3. 实例验证：一看就懂

用具体数字举例，能更直观理解：

十进制数（n）	二进制表示	n & 1 的运算	运算结果	判断结论
3（奇数）	11	11 & 01 = 01	1	奇数
4（偶数）	100	100 & 001 = 000	0	偶数
7（奇数）	111	111 & 001 = 001	1	奇数
8（偶数）	1000	1000 & 0001 = 0000	0	偶数

要不要我帮你整理一份位运算判断奇偶的代码示例表？包含 Python、Java 等常见语言的具体写法，你可以直接参考使用。

//6 – 1 – 3 else if

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int a;

cin >> a;

if (a==0) {

cout << “Vito Algorithm” << endl;

}

//if (如果)

//else if(否则如果)

else if (a==1) {

cout << “Vito1 Algorithm Legendary” << endl;

}

else if (a == 2) {

cout << “Vito Algorithm Killer” << endl;

}

else if (a == 3) {

cout << “Vito Algorithm Learner” << endl;

}

else{

//the last else can be ignored

cout << “Vito Another Algorithm” << endl;

}

return 0;

}

//6 – 1 – 4 conditional/ternary operator

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int a = 3, b = 4;

float c = 1.6;

int x = -1;

if (a > b) {

x = a;

}

else {

x = b;

}

//exp1? exp2:exp3;

//if expression1 is true, then execute expression2, otherwise execute expresssion3

x = (a > b ? a : b);

x = (a > b) ? ( (a>c) ? a : c) : b; //ternary operator supports nest

// the value type in ternary is depend on the values’ type

cout << ((a > b) ? ((a > c) ? a : c) : c)<<endl;//1.6,output a float number

cout << ((a < b) ? ((a > c) ? a : c) : c) << endl;//3,output an int number

//If you think you can’t solve the priority problems, then you better add some quote symbols.

return 0;

}

//6 – 1 – 5 switch case

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int a = 0;

cin >> a;

if (a == 0) {

cout << “Zero” << endl;

}

else if(a == 1) {

cout << “One” << endl;

}

else if (a == 2) {

cout << “Two” << endl;

}

else if (a == 3) {

cout << “Three” << endl;

}

else{

cout << “Beyond three or below zero” << endl;

}

switch (a) {

case 0:

cout << “Zero” << endl;

break; // If we didn’t add this break, then would execute next line until met the break, which is execute from up to down

case 1:

cout << “One” << endl;

case 2:

cout << “Two” << endl;

break;

case 3:

cout << “Three” << endl;

break;

/*case 7.7:

cout << “Three” << endl;

break;*/

case ‘4’:

cout << “Four” << endl;

break;

//the switch expression must use int number or the ” char to set the case, but the char ” will be recognized as the ascii codes

case ‘9’-‘2’:

//offset (偏移量),’9′ is 57 , ‘2’ is 50 , they are minus each other will be 7

cout << “‘9’-‘2’ is 7” << endl;

break;

default:

//If there weren’t meet the condition, if would jumped to the default case, which is equal to the if-else grammar’s else condition

cout << “Beyond three or below zero” << endl;

}

return 0;

}

2025年10月20日

#C++ Day9 October 15 2025
//5 – 6 – 5 left shift operator

#include <iostream>

using namespace std;

/*

x << y = x * 2^y

binary operator (二元运算符)

*/

int main() {

//1.positive number’s left shift

int x = 0b11; //3

x = (x << 1); // 6；0b110;left shift one bit, it will be multiple 2

cout << x << endl;

cout << “—————–” << endl;

cout << (x<<4) << endl;//x*2^4

cout << “—————–” << endl;

//2.negative number’s left shift

int y = -1;

y = (y << 1);//-1*2^1

cout << y << endl;

cout << “—————–” << endl;

//3.left shift negative’s bits

int z = 64;

z = (z << (-1));//it don’t allow the left shift’s right value is a negative number;despite some decoder can output it

cout << z << endl;

cout << “—————–” << endl;

//4.left shift overflow

int a = 64;

a = (a << 10);//it don’t allow the left shift’s right value is a negative number;despite some decoder can output it

cout << a << endl;

//64=0b1000000

//31 = 0b1…0000000000000000000000000000000000000

//the int only can store 4bytes,so that the 1 will be cut out(截断)

//left shift = *2 ;unstoppable *2 must be overflow

cout << “—————–” << endl;

return 0;

}

//5 – 6 – 6 right shift operator

#include <iostream>

using namespace std;

/*

x>>y right shift = x/2^y

*/

int main() {

//1.postive number’s right shift

int a = 0b111; //7

a = (a >> 1); // 7/2^1=3;cut out the rightest 1,and the remaining 0b11 will be 3

cout << a << endl;

cout << “——–” << endl;

//2.negative number’s right shift

int b = -1;

cout << (-1 >> 1) << endl;//-1

//11111111 11111111 11111111 11111111 this is -1-> right shift 1 bit–>//01111111 11111111 11111111 1111111 –> 11111111 11111111 11111111 1111111(finally it will be 1 on the symbol bit)

cout << “——–” << endl;

//3.remove the lower k’s bits

int c = 0b10000101;

cout << (c >> 7) << endl;//removed 0000101

cout << “——–” << endl;

//4.retrive the lower k’s bits’ value

int d = 0b101010101;

// 1

cout << ((d >> 4) & 1) << endl;//if the fourth bit is 1,after the bitwising,there will be output 1

return 0;

}

AI：

要理解 “11111111 11111111 11111111 11111111” 为何代表 – 1，核心在于计算机中整数的二进制表示规则—— 尤其是 “补码（Two’s Complement）” 编码方式。计算机为了统一处理正数和负数的加减运算，规定了带符号整数的存储格式，32 位（4 个字节，每个字节 8 位）带符号整数的表示逻辑如下：

1. 先明确前提：这是 32 位 “带符号整数” 的二进制

计算机中的整数分为两类：
- 无符号整数（unsigned）：仅表示非负数，所有二进制位都用于存储数值（范围：0 ~ 2³²-1）；
- 带符号整数（signed）：需区分正负，规定最高位（第 31 位，从 0 开始计数）为符号位：
 - 符号位 = 0 → 正数；
 - 符号位 = 1 → 负数。
你给出的 “11111111 11111111 11111111 11111111” 是 32 位二进制，且最高位为 1，因此它是一个带符号负数，需用 “补码” 规则解析其实际值。

2. 关键规则：负数用 “补码” 存储

为了避免 “正 0” 和 “负 0” 的重复（如 8 位二进制中，00000000 和 10000000 都表示 0），同时让 “正数 + 负数” 的运算等同于普通二进制加法（无需额外处理符号），计算机规定：

正数的原码、反码、补码完全相同；负数的补码 = 其 “绝对值的原码” 按位取反（反码） + 1。

反过来，若已知一个负数的补码，要计算其实际值，需执行逆操作：

负数的绝对值 = （补码按位取反） + 1，再加上负号。

3. 一步步计算：32 位全 1 补码对应的值

对 “11111111 11111111 11111111 11111111” 执行逆操作：
- 补码按位取反：将所有 1 变为 0，所有 0 变为 1。
 32 位全 1 的补码取反后，结果是 00000000 00000000 00000000 00000000（32 位全 0）。
- 取反后 + 1：00000000…00000000 + 1 = 00000000 00000000 00000000 00000001（即十进制的 1）。
- 加上负号：由于原补码的符号位为 1（表示负数），因此最终值为 -1。
4. 延伸验证：8 位带符号整数的例子

若将范围缩小到 8 位（1 字节），“11111111” 同样是 – 1，逻辑完全一致：
- 8 位全 1 的补码 → 符号位 = 1（负数）；
- 按位取反：00000000 → +1 后 = 00000001（十进制 1）；
- 最终值：-1。
而 8 位带符号整数的范围是 -128 ~ +127（正是补码规则的结果），32 位带符号整数的范围则是 -2³¹ ~ +2³¹-1，其中 “11111111 11111111 11111111 11111111” 恰好是这个范围中的 “-1”。

总结

“11111111 11111111 11111111 11111111” 代表 – 1，本质是计算机用32 位带符号整数的补码规则存储负数的结果：

符号位为 1（表示负数），其补码对应的绝对值为 1，因此最终值为 – 1。
2025年10月15日
#C++ Day8 October 14 2025

//5 – 6 – 3 XOR Exclusive OR operator

#include <iostream>

using namespace std;

/*

^ XOR :XOR from high to low,if two values are unequal, there will be 1

*/

int main() {

//1.the XOR’s definition

int a = 0b1010;

int b = 0b0110;

// ^ = 0b1100; //Dec = 12

cout << (a ^ b) << endl;

cout << “———-” << endl;

//2.Reverse the flag bit

int c = 0b1000101;

// 0b0001000;

cout << c << endl;

cout << (c ^ 0b1000) << endl; // the first xor

cout << ((c ^ 0b1000) ^ 0b1000) << endl;//xor again,xor is adaptive to the exchange and combine rules

//two equal values,then xor will be full of the 0

cout << “———-” << endl;

//3.exchange the values

int d = 17;

int e = 19;

d = d ^ e;

e = d ^ e; // = d’ ^ e = d ^ e ^ e = d ^ 0 = d

d = d ^ e; // = d’ ^ d = d ^ e ^ d = d ^ d ^ e =0 ^ e = e, xor is adapt to the exchange rule

cout << d << ‘ ‘ << e << endl;

//3.1 any values xor with 0, it’s the same value ifself;

//3.2 two same values xor, the output will be 0;

//3.3 xor is adaptive to the exchange and the combine rule;

//exclusive OR(XOR):not promote bit’s binary add rule(不带进位的二进制加法)

cout << “———-” << endl;

//4.occur the odd’s number(出现奇数次的数)

int f = 3;//0b011

int g = 4;//0b100

int res = f ^ g ^ f; //=f^f^g=0^g=g

cout << res << endl;

//even’s number will finally become 0, and the odds will be left finally

cout << “———-” << endl;

//5.encrypt

int x = 1314;

cout << “520” << x << endl;

int y = (x ^ 3135); // 3135 is the key

cout << “520” << y << endl; //5202333

cout << “520” << (y ^ 3135) << endl; //decrypt

return 0;

}

AI：

好问题👍

这个其实是理解 XOR（异或）运算的核心所在。我们慢慢来，不急着看公式。先一步步想清楚概念。

⸻

先回忆一下普通的二进制加法：

A B A+B（带进位）

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 10（进位1，结果0）

看到最后一行了吗？

只有当 A 和 B 都是 1 时，才会产生进位。

⸻

现在我们看 XOR 的真值表：

A B A⊕B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

是不是发现——

XOR 跟普通加法几乎一模一样，只是当 1+1 时，它不产生进位，而是直接输出 0。

也就是说：

XOR 就像是在做「不考虑进位」的二进制加法。

⸻

我们换个角度想：

在二进制加法里，其实结果有两个部分：

1. 和（Sum）：就是不带进位的部分 → A ⊕ B

2. 进位（Carry）：是产生进位的部分 → A & B

所以：

A + B = (A ⊕ B) + ((A & B) << 1)

这就是计算机做加法的原理（位运算实现加法）。

⸻

我想确认你理解到这里：

你能解释一下「为什么当 A=1 且 B=1 时 XOR 的结果是 0 吗」？

（提示：想想这时“1+1”的结果在二进制下是什么样的）

AI2：

对！你说对了 👏

不过我们可以再把这句话拆开一点，让逻辑更清晰。

当 A=1、B=1 时，普通加法得到 10（也就是结果位 0，进位 1）。

而 XOR 只保留“结果位”，不管进位，所以它只取 0。

换句话说：

• 普通加法 = 结果位 + 进位

• XOR = 只要结果位，不要进位

所以我们说它是 “不带进位的二进制加法”。

⸻

来，我们检验一下你的理解：

我给你两个二进制数：

A = 1011

B = 1101

你能试着算出 A ⊕ B 的结果吗？

（一步一步来，不用急——我们只做 XOR，不带进位的）

AI3：

太棒了 🎯 完全正确！

我们来一起验证一下思路：

 1011

⊕ 1101

= 0110

逐位解释：

A B A⊕B

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

✅ 结果：0110

⸻

小结一下：

• XOR（异或）相当于“不带进位的二进制加法”；

• 如果要做完整的加法，就要加上进位 = A & B 的那一部分。

⸻

想让我带你一起推一推，怎么用 “XOR + AND + 移位” 来在 C 语言里实现一个不用 + 的加法器吗？

AI4:

很好～那我们一起来“拆解”加法器的思路吧。

我们先从逻辑讲起，不直接写代码。

⸻

🧩 第一步：回忆一下我们刚才说的公式

普通二进制加法可以写成：

Sum = A ⊕ B // 不带进位的部分

Carry = (A & B) << 1 // 进位，往左移一位

但这个 Carry 可能又会跟 Sum 相加，还会继续产生新的进位。

所以我们要 重复这个过程，直到进位变成 0。

⸻

💡 第二步：我们可以用循环实现这个过程

每一轮做的事：

1. sum = a ⊕ b

2. carry = (a & b) << 1

3. 把 a = sum, b = carry

4. 继续直到 carry == 0

⸻

🔧 第三步：用 C 语言写出来

int add(int a, int b) {

while (b != 0) {

int sum = a ^ b; // 不带进位的和

int carry = (a & b) << 1; // 计算进位

a = sum; // 更新a

b = carry; // 更新b

}

return a;

}

⸻

这个算法完全没用 + 或 -，却能实现加法。

现在我想考考你 😏

假如我们输入 add(5, 3)，

你能试着写出每一轮循环里 a、b、sum、carry 的变化吗？（我们可以先看前两轮）

AI5:

没关系～这个地方第一次接触确实有点绕，我们慢慢拆开。

我们先换个思路：别看代码，先把**“加法的过程”**想象成两步循环发生的事。

⸻

🧠 想象一下你要算 5 + 3

先写成二进制：

5 = 0101

3 = 0011

⸻

第一步：XOR，不带进位加法

我们先做 “不带进位”的加法（XOR）：

0101

⊕ 0011

= 0110 ← 这就是 6

但因为有些地方 “1+1” 了（会产生进位），我们还得算出进位。

⸻

第二步：AND，然后左移一位

计算哪些位置产生进位：

0101

& 0011

= 0001

进位要往左移动一位（因为二进制加法中进位加到下一列）：

0001 << 1 = 0010

这代表进位是 2。

⸻

第三步：再加一次

现在我们要把

不带进位的结果 0110 (6)

再加上进位 0010 (2)

所以我们又回到第一步——再做一次 XOR + AND。

⸻

看到这个循环了吗？

每次做：

1. 不带进位加法（XOR）

2. 算出新的进位（AND << 1）

3. 如果进位不为 0，就再来一轮。

最后进位变成 0，结果就是最终的和。

⸻

这样解释有点清楚了吗？

要不要我帮你把上面的例子（5 + 3）一步步继续算完，让你看到循环怎么结束的？

AI6:

很好，我们就把刚才那个例子（5 + 3）一步一步完整推到底 💪

⸻

🧩 起始值：

a = 0101 (5)

b = 0011 (3)

⸻

🌀 第 1 轮循环

1️⃣ 不带进位加法（XOR）

0101

⊕ 0011

= 0110 → sum = 6

2️⃣ 计算进位（AND，然后左移）

0101

& 0011

= 0001

0001 << 1 = 0010 → carry = 2

更新 a、b：

a = 0110 (6)

b = 0010 (2)

⸻

🌀 第 2 轮循环

1️⃣ XOR

0110

⊕ 0010

= 0100 → sum = 4

2️⃣ AND + 左移

0110

& 0010 = 0010

0010 << 1 = 0100 → carry = 4

更新 a、b：

a = 0100 (4)

b = 0100 (4)

⸻

🌀 第 3 轮循环

1️⃣ XOR

0100

⊕ 0100

= 0000 → sum = 0

2️⃣ AND + 左移

0100

& 0100 = 0100

0100 << 1 = 1000 → carry = 8

更新 a、b：

a = 0000

b = 1000

⸻

🌀 第 4 轮循环

1️⃣ XOR

0000

⊕ 1000

= 1000 → sum = 8

2️⃣ AND + 左移

0000

& 1000 = 0000

0000 << 1 = 0000 → carry = 0

这时 b = 0，循环结束 ✅

⸻

🎯 最终结果

a = 1000（二进制）

= 8（十进制）

所以 add(5, 3) 的结果就是 8。

⸻

你能看到：

• 每一轮 “不带进位加法” 用 XOR；

• 每一轮 “进位” 用 AND 然后左移；

• 不断重复，直到进位没了。

⸻

要不要我帮你画一张小图，把这个「XOR + AND + 循环」的逻辑画成流程图？那样会更容易记。

AI7:

你的结论非常准确！**异或（XOR）运算确实是找到“数组中出现奇数次数字”的高效方法**，尤其适用于“只有1个或2个数字出现奇数次，其余数字均出现偶数次”的场景。其核心优势在于**时间复杂度O(n)、空间复杂度O(1)**（无需额外存储大量数据），远优于哈希表等需要额外空间的方法。

要理解为什么XOR能做到这一点，首先需要掌握XOR运算的4条核心性质，这是整个逻辑的基础：

### 一、XOR运算的核心性质

异或运算用符号“^”表示，运算规则是“**相同为0，不同为1**”（二进制层面），但从实用角度，更关键的是其推导出来的4条规律：

1. **交换律**：`a ^ b = b ^ a`（顺序不影响结果）

2. **结合律**：`(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)`（分组不影响结果）

3. **自身异或为0**：`a ^ a = 0`（一个数和自己异或，结果为0）

4. **与0异或为自身**：`a ^ 0 = a`（一个数和0异或，结果还是它本身）

### 二、场景1：只有1个数字出现奇数次，其余均为偶数次

这是最基础的场景，也是XOR应用的核心。

#### 原理推导：

假设数组为`[a, b, c, a, b]`，其中`c`出现1次（奇数次），`a`和`b`各出现2次（偶数次）。

根据交换律和结合律，我们可以将“相同数字”优先分组异或：

`(a ^ a) ^ (b ^ b) ^ c`

根据“自身异或为0”，`a^a=0`，`b^b=0`，代入后得到：

`0 ^ 0 ^ c`

再根据“与0异或为自身”，`0^0=0`，最终结果为：

`0 ^ c = c`

可见，**所有出现偶数次的数字会通过异或“抵消”为0，最终剩下的就是出现奇数次的数字**。

#### 实例演示：

数组`[2, 3, 2, 4, 4, 3, 3]`，其中`3`出现3次（奇数次），其余数字各出现2次（偶数次）。

计算过程：

`2 ^ 3 ^ 2 ^ 4 ^ 4 ^ 3 ^ 3`

= `(2^2) ^ (3^3^3) ^ (4^4)`

= `0 ^ (0 ^ 3) ^ 0`

= `0 ^ 3 ^ 0`

= `3`

最终结果恰好是出现奇数次的`3`。

### 三、场景2：有2个数字出现奇数次，其余均为偶数次

如果数组中有2个数字（设为`x`和`y`）出现奇数次，其余均为偶数次，XOR同样能解决，但需要多一步“分组拆分”。

#### 原理推导：

1. **第一步：得到x^y**

 对整个数组异或，所有出现偶数次的数字会抵消为0，最终结果为：`0 ^ x ^ y = x ^ y`（记为`res = x ^ y`）。

 由于`x ≠ y`（若x=y则出现次数为偶数，矛盾），`res`的二进制中**至少有1位是1**（这是关键：说明x和y在这一位上的二进制值不同）。

2. **第二步：找到“区分位”，拆分数组**

 找到`res`中任意一个为1的二进制位（比如最低位的1，记为`mask`）。

 用`mask`对数组中所有数字进行“与运算”：

 – 数字与`mask`的结果为1：放入组A（这类数字在“区分位”上为1）

 – 数字与`mask`的结果为0：放入组B（这类数字在“区分位”上为0）

 由于`mask`是`x^y`的为1的位，`x`和`y`会被分到不同的组（一个在A，一个在B），且**每组内只有1个数字出现奇数次**（其余均为偶数次）。

3. **第三步：分别求x和y**

 对组A所有数字异或，得到其中出现奇数次的数字（比如`x`）；

 对组B所有数字异或，得到另一个出现奇数次的数字（比如`y`）。

#### 实例演示：

数组`[1, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 5]`，其中`1`和`5`各出现1次（奇数次），其余数字各出现2次（偶数次）。

1. 全数组异或：`1^2^3^2^3^4^4^5 = 1^5 = 4`（二进制`100`，即`res=4`）。

2. 找区分位：`res=4`的最低为1的位是第3位（二进制`100`），`mask=4`。

3. 分组：

 – 组A（数字&4=1）：`4`（4&4=4≠1？重新算：数组中数字是1(001)、2(010)、3(011)、4(100)、5(101)。mask=4(100)，则：

 – 1&4=0 → 组B

 – 2&4=0 → 组B

 – 3&4=0 → 组B

 – 4&4=4 → 组A

 – 5&4=4 → 组A

 最终组A：`[4,4,5]`（5出现1次奇数次），组B：`[1,2,3,2,3]`（1出现1次奇数次）。

4. 分组异或：

 – 组A异或：`4^4^5=5`

 – 组B异或：`1^2^3^2^3=1`

 得到两个出现奇数次的数字`1`和`5`。

### 四、注意事项

XOR的这个用法有一个严格前提：**除了目标数字（1个或2个），其余所有数字必须出现偶数次**。如果有3个及以上数字出现奇数次，单纯用XOR无法直接找到所有目标（需要结合更复杂的逻辑，如哈希表统计次数）。

综上，XOR利用其独特的运算性质，实现了“零额外空间找奇数次数字”的高效解法，是算法面试中非常经典的考点。

AI8-1：

很好 👍 那我们就从「为什么要有补码」讲起。

⸻

在计算机里，加法和减法最好都能用“加法器”来完成，因为电路实现加法比减法简单。

但问题是：

如果我们用“原码”表示负数，比如：

十进制 原码（二进制 8 位）

+5 0000 0101

-5 1000 0101

你会发现：

(+5) + (-5) = 0000 0101 + 1000 0101 = 1000 1010 → 这并不是 0！

所以原码不能直接用于运算。

⸻

于是就有了一个聪明的办法——补码（Two’s Complement）。

它的思路是：

让“负数”变成一种特殊的正数形式，这样加法电路就能处理它。

⸻

计算规则（以 8 位为例）：

1️⃣ 正数的补码 = 原码（不变）

2️⃣ 负数的补码 = 先取反（把 1→0，0→1），再 +1

例如：

-5 的原码是 1000 0101

→ 取反：0111 1010

→ 加 1：0111 1011

所以 -5 的补码是 1111 1011（注意最高位 1 表示负号）。

⸻

当你用补码运算时：

(+5) + (-5)

= 0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000

去掉溢出的最高位 → 0000 0000 ✅（结果正确！）

⸻

我想让你试一下：

👉 请你帮我算算，在 8 位系统下，-3 的补码是什么？

（记得：先取反，再加 1）

AI8-2:

非常好 👏，你算得完全正确！

我们来验证一下你的过程：

• 原码（-3）：1000 0011

• 取反：0111 1100

• 加 1：0111 1101

→ 所以补码是 1111 1101 ✅

⸻

现在你已经理解了补码的生成方式。

我们再往下一步走一点：

你觉得用补码来表示负数，有什么好处呢？

（提示：它跟加法、减法、电路设计的关系很大～）

AI8-3:

完全正确！👏👏

你已经抓到补码最关键的两个优点了：

1️⃣ 简化电路设计：

因为加法和减法都可以用同一个“加法器”完成。

举个例子：

想算 5 – 3，其实就是 5 + (-3)。

如果 -3 用补码表示，就能直接丢进加法器里计算。

2️⃣ 避免算错数（特别是符号位的问题）：

在原码或反码下，符号位要单独处理，容易出错；

但补码让符号位“融入”了数值部分，整体运算更自然。

⸻

来个小练习巩固一下？

👉 如果是 8 位系统，1111 0110 这个补码代表的是十进制多少？

（提示：你可以先判断它是正数还是负数，再反推出原码。）

//5 – 6 – 4 reverse relied on each bit(bitwise NOT)

#include <iostream>

using namespace std;

/*

~ reverse relied on each bit’s symbol(bitwise NOT)

this is an unary operator(单目运算符)

*/

int main() {

//1.the unary operator’s (reverse relied on each bit’s symbol) definition

int a = 0b00000000000000000000000000000001;

int b = 0b11111111111111111111111111111110; //four 8 bits number

cout << (~a) << endl; //-2

cout << b << endl; //-2

cout << “—————” << endl;

//2.Two’s Complement（补码）

//if 0b00000000000000000000000000000000 = 0

//and if 0b11111111111111111111111111111111 = -1

//then minus 1 0b11111111111111111111111111111110 = -2

int c = 0b0;

cout << (~c) << endl; // 32 bits’ 1 will output -1

cout << “—————” << endl;

//3.get the reverse number

int d = 18;

cout << (~d + 1) << endl;//-18

//原码、反码、补码、移码

//1’s ~ (bitwise NOT) is -2

//0’s ~ (bitwise NOT) is -1

return 0;

}

AI8-3：

在计算机中，0b0（二进制0）按位取反后结果为-1，这是由**按位取反的运算规则**和**补码表示法**共同决定的，核心原因在于计算机用补码表示有符号整数。

### 具体分析步骤：

#### 1. 明确“0b0”的二进制完整形式

在计算机中，整数通常以固定位数（如32位、64位）的二进制存储。例如，32位系统中，`0b0`（十进制0）的二进制是**32个0**：

`00000000 00000000 00000000 00000000`

#### 2. 按位取反（~）的运算规则

按位取反会将二进制的每一位都翻转（0变1，1变0）。因此，32位的0取反后，所有0都会变成1，结果是**32个1**：

`11111111 11111111 11111111 11111111`

#### 3. 补码中“全1”表示-1

计算机中，有符号整数用**补码**表示，规则是：

– 正数的补码 = 原码（符号位为0，数值位为本身）；

– 负数的补码 = 反码 + 1（反码是原码除符号位外取反）。

而“全1”的二进制（如32位的`11111111…1111`）恰好是-1的补码：

– 推导：假设求-1的32位补码

– 1的原码：`00000000…0001`

– 1的反码（除符号位外取反）：`11111111…1110`（符号位为1，表示负数）

– 反码加1得补码：`11111111…1110 + 1 = 11111111…1111`

#### 4. 验证逻辑合理性

从运算逻辑上看，-1的补码“全1”满足补码的核心特性：**负数加其绝对值等于0**。

例如：`-1 + 1 = 0`

– -1的补码：`11111111…1111`

– 1的补码：`00000000…0001`

– 相加结果：`11111111…1111 + 00000000…0001 = 100000000…0000`（溢出后截断为32位，结果为`00000000…0000`，即0），完全符合逻辑。

### 结论

0b0按位取反后得到“全1”的二进制，而在补码表示法中，“全1”恰好是-1的编码，因此结果为-1。这是计算机为了统一加减法运算（将减法转化为加法）而设计的补码规则导致的必然结果。

AI9-1:

为什么这样 //3.get the reverse number

int d = 18;

cout << (~d + 1) << endl;//-18

这段代码的输出结果为`-18`，核心原因是：**`~d + 1` 是计算机中求一个整数相反数（负数）的标准操作**，这是由补码的运算规则决定的。

### 具体分析步骤：

#### 1. 明确 `d = 18` 的二进制补码

在C++中，`int` 通常为32位有符号整数，用补码表示。

18的二进制原码（正数的补码与原码相同）为：

`00000000 00000000 00000000 00010010`

#### 2. 按位取反 `~d` 的结果

`~` 是按位取反运算符，将二进制每一位翻转（0变1，1变0）。

对18的补码取反后得到：

`11111111 11111111 11111111 11101101`

#### 3. 加1操作 `~d + 1` 的结果

取反后加1，得到：

`11111111 11111111 11111111 11101101 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11101110`

#### 4. 该结果是 `-18` 的补码

在补码规则中，负数的补码定义为“其绝对值的反码 + 1”。

– 18的绝对值是18，其原码为 `00000000…00010010`

– 反码为 `11111111…11101101`（除符号位外取反）

– 反码加1后正是 `11111111…11101110`，即 `-18` 的补码。

### 结论

`~d + 1` 本质是**通过补码运算求 `d` 的相反数**。对于任意整数 `d`，`~d + 1` 的结果恒等于 `-d`，因此当 `d = 18` 时，输出自然为 `-18`。这是计算机中利用补码统一加减法运算的典型应用。

AI9-2:

哦，你这里用的这一行代码，其实就是在用 补码的原理 来求负数。我们慢慢拆开来看：

int d = 18;

cout << (~d + 1) << endl; // 输出 -18

⸻

1️⃣ ~d 是什么？

• ~ 是 按位取反（bitwise NOT）

• 18 的二进制（32 位 int 为例）：

00000000 00000000 00000000 00010010

• 取反后：

11111111 11111111 11111111 11101101

这就是 18 的反码。

⸻

2️⃣ +1 是为什么？

• 在补码表示中，负数 = 取反 +1

• 所以：

~18 + 1

= 11111111 11111111 11111111 11101101 + 1

= 11111111 11111111 11111111 11101110

• 这就是 -18 的补码，所以输出就是 -18。

⸻

🔑 核心理解

• ~d + 1 就是 求 d 的补码负数

• 换句话说，这种方式可以把一个正数变成负数

⸻

如果你愿意，我可以画一张 正数 → 取反 → +1 → 负数补码 的流程图，让你一眼就看懂为什么会是 -18。

AI10：

好呀，我们把这些概念理一理，它们都是计算机表示有符号数的方法，但用法和原理不同。我们用 8 位为例子来讲。

⸻

1️⃣原码（Sign-Magnitude）

• 规则：最高位是符号位，0 表示正，1 表示负，其余位表示数值大小。

• 例子：

• +5 → 0000 0101

• -5 → 1000 0101

• 问题：加减法电路麻烦，需要特殊处理符号位。

⸻

2️⃣反码（Ones’ Complement）

• 规则：

• 正数：与原码相同

• 负数：原码符号位不变，其余位取反

• 例子：

• +5 → 0000 0101

• -5 → 1111 1010

• 特点：减法可以用加法器做，但有“0 的两种表示”（0000 0000 和 1111 1111）。

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3️⃣补码（Two’s Complement）

• 规则：

• 正数：原码不变

• 负数：取反 +1

• 例子：

• +5 → 0000 0101

• -5 → 1111 1011

• 特点：

• 加减法都可以直接用加法器

• 只有一种 0 表示

• 最高位仍表示符号（1 负，0 正）

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4️⃣移码（Biased / Excess-K）

• 规则：把原码加上一个偏移值（bias），通常 bias = 2^(n-1)，使所有数都是正数

• 用途：浮点数指数部分常用移码

• 例子（8 位，bias = 128）：

• 真值 0 → 1000 0000

• 真值 -5 → 1000 0000 – 5 = 0111 1011

• 真值 +5 → 1000 0000 + 5 = 1000 0101

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如果你愿意，我可以画一张图表把原码、反码、补码、移码对比起来，一眼就能看懂它们的关系。

你想要我画吗？

2025年10月14日

类型	本质	声明示例	关键特征
指针数组	数组（元素为指针）	int *arr[3];	arr是数组，arr[i]是指针
数组指针	指针（指向数组）	int (*p)[3];	p是指针，*p是数组